VI. — Cas où un coxle se réduit à uii poinl

747. On peut avoir à considérer un point comme un cercle infiniment petit, et à la limite comme un cercle d'un rayon nul.

Les points d'intersection d'une droite et d'un cercle infiniment petit sont imaginaires; leur point milieu est, comme dans le cas général, le pied de la perpendiculaire ahaissée du centre sur la droite, et le carré de la demi-corde que les deux points imaginaires déterminent est égal au carré de la distance de la droite au centre du cercle pris avec le signe — . Cela résulte de l'expression générale (657), dans laquelle on suppose le rayon nul.

On peut dire plus généralement que le produit des distances d'un point de la droite aux deux points imaginaires est égal au carré de la distance de ce point au centre du cercle (657).

748. L'axe radical d'un cercle et d'un point jouit des mêmes propriétés que l'axe radical de deux cercles; c'est la droite qui rencontre le cercle et le point dans les deux mêmes points (imaginaires) ; en d'autres termes, c'est la droite sur laquelle se trouvent les deux points d'intersection du cercle et du point.

La tangente au cercle menée d'un point quelconque de l'axe radical est égale à la distance de ce point au point regardé comme cercle infiniment petit.

749. L'axe radical d'un point et d'un cercle est à égale distance du point et de sa polaire par rapport au cercle.

Car appelons t l'un des points (imaginaires) communs au cercle

G et au point e [Jig- i63), lesquels sont sur l'axe radical ftX; on aura, par rapport au point e, iis =; — Q.e (747),et,dansiecercle, ils := — Sîrt.îîrt', Donc lie =:€la.^a'. Donc, si l'on prend Qy^z: lie, les deux points e, y seront conjugués harmoniques par rapport aux deux a, a' (73), et, par conséquent, la polaire du point e relative au cercle G passe par le point y, à la même distance de l'axe radical que !e point e.

750. Le carré de la distance d'un point quelconque m du cercle au point est proportionnel à la dislance du même point m à l'axe radical (737).

11 en résulte cette propriété du cercle :

Etant pris un point fixe e dans le plan d'un cercle, il existe toujours une certaine droite fixe QX telle, que le carré de lu distance d'un point quelconque du cercle à ce point fixe est, à la simple distance du même point à la droite fixe, dans une raison constante.

Ainsi l'on a {fig. i63)

Cet axe iiX, qui correspond au point e, est à égaie distance de ce point et de son conjugue harmonique f par rapport aux deux points a, a' (7i9). On peut le déterminer par la proportion

751. La polaire d'un point par rapport à un cercle infiniment petit passe par le point qui représente ce cercle et est perpendiculaire à la droite menée du point à ce cercle.

Il s'ensuit que deux points conjugués par rapport à un point

PROPRIETES RELATIVES A DEDX CEflCLES. 475

regardé comme cercle iiifiminent petit sont vus de ce point sous un angle droit.

ConOLiÂiuE. — Si les deux points conjugués sont pris sur l'axe radical d'un cercle et d'an point, ils seront aussi conjugués par rapport au cercle, de sorte qu'il en résulte ce théorème : Quand une droite ne rencontre pas un cercle, il existe, départ et d'autre de cette droite, un point d'où, l'on voit sous un angle droit le segment compris entre deux points conjugués quelconques par rapport au cercle, pris sur cette droite.

: DE GÉOJIÉTKIE SOPÉBIEBRE. -