CERCLES AYANT LE MÊME AXE RADICAL

Or, les points x, $ et [^ étant les pieds des perpendiculaires abaissées des centres des trois cercles sur la Iransversalc, le rapport ^

est égal, numériquement et avec le même signe, au rapport des distances de l'un de ces centres aux deux autres. Donc, etc.

Remarijue. ■ — ■ Si l'on voulait démontrer seulement que la valeur

numérique du rapport —j^ — j-, est constante, il suffirait de remarquer que, les six points «, n',h, V , m, m' étant en involution (752), ou a l'égalité

l^^bT^b' ^ m'b.ni'b' '

On n'a à considérer, le plus souvent, que la valeur numérique du rapport; cependant ilpeutarriverqu'iijait lieu de tenir compte du signe, comme nous le verrons plus loin (761 ).

754. Quand trois cercles ont le même axe radical, les tangentes menées de cliaque point de l'un aux deux autres ont leurs longueurs dans une raison constante.

En effet, le rapport des carrés des tangentes menées d'un point m de l'un des cercles est égal au rapport

lequel est constant (753).

7S5. Quand trois cercles ont le même axe radical^ de chaque point de l'un on voit les deux autres sous des angles dont les moitiés ont leurs tangentes trigonométriques dans un rapport constant.

En effet, on ^[fig. i64)

tang fmC=:: — =^ — > tiing i m C = — 7 ■

langimC tangi'mC "

ijH TRAITÉ DR GÉOMÉTRIE SUPÉRIEVnE. — CHAPITRE XX\.

Or îe rapporl des deus langenics ■ — ; est constant (754). Donc le

rapport des dewx tangentes trigo nom étriqué s est constant.

756. Si, sur la droite qui joint les centres de similitude de deux cercles, comme diamètre, on en décrit un troisième, ce cercle pa^se par les points d'intersection {réels ou imaginaires) des deux premiers, et de chacim de ses points on voit ceux-ci sous deux angles égaux.

Par les centres de similitude de deux cercles on peut en faire passer un troisième ayant le même axe radical avec ces deux-là, parce <jue les deux centres de similitude forment une involulion avec les points a, b et d, h' appartenant sur la même droite aux deux cercles (721).

Le rapport des carrés des tangentes aux deux cercles, menées

d'unpointde ce troisième, est constant (7S4) et égal à ;^-/'- ^^Ôïâ" Donc, d'après le théorème précédent, les deux angles soas lesquels on voit, d'un point quelconque du troisième cercle, les deux autres, sont égaux. c. q. f- d.

757. Quand trois cercles ont le même axe radical, si d'un point on leur mène des tangentes, les trois cordes de contact concourent en un même point.

En d'autres termes, les polaires d'un même point relatives aux trois cercles concourent en un même point.

En effet, soient un point P, et P'ie poîntd'inlersectiondc ses polaires relatives à deux des cercles. La droite PP* rencontre les trois cercles en trois couples de points a, a' ; b, b' et c, c', qui sont en involution (752). Or les deux points P, P* sont conjugués harmoniques par rapport aux deux a, a et aux deux b, b' (684), et par conséquent sont les points doubles de l'involution. Donc ils divisent harmoniquement le troisième segment ccf ; donc la polaire du point P relative au troisième cercle passe par P'; ce qui démontre le théorème.