CERCLES AVANT LE MÊME AXE RADICAL

Remarque. — Les deux points P, P", qui sont conjugués par rapport à chacun des trois cercles, sont situés de part et d'autre et à égale distance de l'axe radical; car ils sont les points doubles d'une involmion dont le point central est sur l'axe radical (752).

768. Quand un triangle est inscrit clans un cercle, si par deux points de la circonférence irréels ou imaginaires) on mène six cercles tangents, deux: à deux, respectivement aux trois côtés du triangle, les six points de contact sont trois à trois, sur quatre droites.

On peut dire encore que les six points de contact formenl les quatre sommets et les deux points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère dont les diagonales et la droite qui joint ces deux points de concours sont, en direction, les trois côtés du triangle.

En effet, soient a, b, c [fig. i65) les points de rencontre des trois côtes du triangle ABC par la corde PP', et a, ê, y trois des points de contact sur les trois mêmes côtés respectivement.

On a, en représentant par (A, X), (B, X), (C, X) les distances des trois sommets A, B, C à la corde PP* qui est l'axe radical commun au cercle proposé et aux cercles tangents aux côtés du triangle ,

(li,X}'

Ba {It,X) ce

ci" (C.X)' XS'

(C,xl (A,X)

D'où résulte

By C« AS ~ ■

Ainsi trois quelconques des six points de contact, pris sur les trois côtés respectivement, donnent lieu à cette équation; ce qui prouve que les trois points sont en ligne droite, ou bien que les droites menées de ces points aux sommets du triangle se croisent en un même point. Or cela ne peut avoir lieu qu'autant que les sis points seront les quatre sommets et les deux points de concours des côtés opposés d'un même quadrilalèrc. Le théorème est donc démontré.

autrement. Le point a est le point central d'une invoîution

i CEOUËTRIIJ

dans laquelle les deux sommets B, C sont deux points conjugui et le point k un des points doubles (752). On a donc

t pareilleni

Multipliant membre à membre ces trois équations, on en obtient une dont le second membre est égal à l'unité, parce que les trois points a, b, c sont en ligne droite ; et cette équation se réduit à

comme ci-dessus.

759. Quand les côtes d'un angle [jtg. i66) rencontrent deux cercles C, C, chacun en quatre points, savoir, a, b, c, d sur l'un, et a', b', c', d' sur l'auire, deux cordes ad et bc, sous-tendues par cet angle dans le premier cercle, rencontrent deux cordes a'd', bV, sous-tendues dans le second cercle, en i/uatre points m, n, p, q qui sont situés sur un même cei-cle, et ce cercle a le mémo axe radical avec les deux C, C.

Prouvons d'abord que par deux points situés sur une même corde de l'un des ccrcres, par exemple, par les deux points m et n situés sur la corde ad du cercle C, on peut faire passer un cercle ayant le même axe radical avec les deux proposés C et C. En effet, le quadrilatère a'b'c'd' étant inscrit dans le cercle C, les deux couples de points «, d et m, n, et les deux points d'intersection du cercle C par la droite mn sont en involution (665), Donc, par les deux points m, n on peut faire passer un cercle ayant le même axe radical avec les deux C, C (752). Par la même raison, ce cercle, qui est déterminé parle seul point m, passera parle point </ situé, avec m, sur la corde a'd' du second cercle C; et passant par