CHAPITRE III

PBOPRIÉTÉS IIELATIÏES A DEUX SÏSÏÈHLS Ci; QUATRE POINTS SITiiÉS SUK DEUX DROITES, OU A DEUX FAISCEAUX Dlî QUATRE DllOITES, QUI ONT L'N MÊME RAPPORT ANHARUONIQUE.

g I. — Deux systèmes de quatre points.

■41. Quand deux syslcmes de quatre points situés sur deux droites et qui se correspondent un à un sont tels, i/u'un rapport anharnionitjue du premier système soit égal au rapport anharmonitjue du second système, les deux autres rapports anJtarmoniques du premier système sont égaux, respectivement, aux deux autres rapports anliarmonit/ues du second système.

Celte égalité résulte de l'expression des deuxième et troisième rapports anharmoniqiies en fonction du premier (34).

Ainsi, soient a, h, c, d et a', b', c', d' les deux systèmes de quatre points; chacune des trois équations

ail c/l

qui expriment l'égalité des rapports anharmoniqucs correspondants des deux systèmes, comporte les deux antres.

D'après cela, nous pourrons dire indifféremment que les deux systèmes de quatre points ont les mêmes rapports anharmoniques, on, simplement, le même rapport anharmonique.

DEUX aïSTEMES DE QUATRE POINTS. 29

42. Quand deux systèmes de quatre points pris sur deux droites et se correspondant un à un ont leurs rapports anharmoniques égaux, si l'on place les deux droites de manière que deux points homologues coïncident ensemble, les trois droites qui joindront les trois autres points du premier système à leurs homologues, respectivement, concourront en un même point.

Soient a, h, c, d el a', V, c', d' (f'g- 5) les deux systèmes de quatre points dont les deux homologues a, a' coïncident; je dis que, si leurs rapports anharnioniques sont égaux, de sorte que

ac J'c o'c\ b'c' Ml' bit ~ ^V ■ 6V '

les trois droites hh', cd, dd' concourent en un même point.

En effet, soit S le point de concours des deux premières, el soit d" le point où la droite Si:/ rencontre la droite ab'. Les quatre points a, h', c, d" ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points a, i, c, d (14), et conséquemment, d'après l'hypothèse, à celui des quati-e points a, h' , d, d'. Donc les points d' etd"se confondent. Donc, etc.

■43. Observation. — Celte proposition si simple est néanmoins une de celles dont nous aurons à faire le plus fréquemment usage dans la suite.

Elle fournît ici une démonstration directe du théorème précédent. En effet, puisque les trois droites bb', ce', dd' concourent en un même point S, on peut considérer les deux droites abcd, ab'ffd' comme deux transversales qui coupent un même faisceau de quatre droites Sfl, SÔ, Se, Se?. Conséquemment, le rapport anharmonique des quatre points a, b, c, d situés sur la première transversale, de quelque manière qu'on le forme, est égal au rapport anharmonique correspondant des quatre points a', h', d , d' situés sur la seconde transversale, ce qui démontre le théorème (41).

44. Quand deux systèmes de quatre points a, b, c, d et a', b', c', d', qui se correspondent un à un, ont leurs rapports anharnioniques égaux, on peut établir de trois autres manières la cor-

3o TB,\ITÉ DE GEOUIiTR[i; SUPERIEURE. — UUAPETRlî III,

respoiidance des points des deux systèmes, en conservant l' égalité des rapports anharmoniques.

En effet, on a, par hypothèse, l'égalité

qu'on peut écrire de ces li'ois autres manières : (2) ^.^^^-ll',

^ ' ad' bd e'ii' * d'b'

L'équation (i) exprime qu'aux quatre points «, i, c, d correspondent a', S', </, rf', uii à un, respectivement. L'équation (5) exprime que les points correspondant à a, h, c, d sont b', a', d', </, l'équation (3), que ce sont </, (/', a', b', et l'équation (4), que ce sont d', c', V, a'.

Ce qui démontre la proposition.

■45, La loi de formation des équations (2), (3) et (4) est hien simple. Après que l'on a considéré les quatre points du second système comme correspondant un à un, respectivement, dans l'ordre (/, b' , c', d\ aux quatre points a, b, c, d du premier système, il suffît de faire permuter deux points quelconques du second système entre eux, pourvu que les deux autres points permutent aussi entre eux.

Ainsi, c^ permutant avec b^ et </ avec d', on suhstituera à l'ordre primitif fl', i', c*, d' l'ordre ù', a\ d', 1/, et ces quatre points correspondront un à lin aux quatre points du premier système a, b, f, d, ce qiii donne lieu à l'équation (a).

Observation. — Cette propriété de deux systèmes de quatre points qui ont leurs rapports anharmoniques égaux nous sera souvent utile et suffira, dans plusieurs occasions, pour donner immédiatement la démonstation d'une proposition importante.

: FAISCEAUX Dii QUATRE I

g II. — Deux faisceaux de qniatrâ droites.

46. Quand deux faisceaiuc de quatre droites (jui se correspondent une à une sont tels, qu'un dos trois rapports anliarmoniffues du premier soit égal au rapport correspondant du second, les deux autres rapports anharmoniques du premier faisceau seront égaux aussi aux rapports correspondants du second faisceau.

Cette égaillé résulte de ce qu'un des trois rapports anharmoniques d'un faisceau de quatre droites détermine les deux autres (35).

D'après cela, de même que pour deux systèmes de quatre points, nous pourrons dire, indifféremment, que deux faisceaux de quatre droites ont le même rapport anJtarmonique, ou bien les mêmes rapports anharmoniques.

47. Quand deux faisceaux de quatre droit ps qui se correspondent une à une, respectivement, ont leurs rapports anharmoniques égaux, si on les place de manière que deux droites correspondantes coïncident en direction, les trois autres droites du premier faisceau rencontreront respectivement les trois droites correspondantes du second faisceau en trois points situés en ligne droite.

Soient On, 0/^, Oc, Orf [fg- 6) les quatre droites du pre faisceau, et O'n, O'A, O'c, O'd les quatre droites correspondantes du second. Nous supposons que les deux droites On, O'n coïncident en direction ; je dis que les trois points h, c, d, dans lesquels se coupent deux à deux, respectivement, les autres droites des deux faisceaux, sont en ligne droite.

En effet, menons la droite bc qui rencontre la droite 00' en a, et soient â, ô' les points où elle rencontre les deux droites Od. O'd. Puisque les deux faisceaux ont leurs rapports anharmoniques égaux, les quatre points n, 6, c, à ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points n, h, c, â". Donc les deux points S, S' se confondent. Les deux droites 0(/, O'd se coupent donc sur la droite bc. x. q. f. n.

4S. Observation. ■ — Cette proposition nous sera d'un grand usage.

Elle fournit ici une démonstration directe du théorème précédent, car, les quatre points a, b, c, d étant en ligne droite, leur rapport anharmonîcjue, de quelque manière qu'on le prenne, est égal aux rapports qui lui correspondent dans les deux faisceaux de droites; par conséquent, ceux-ci sont égaux entre eux.

49. Quand deux faisceaux de quatre droites qui se correspondent une à une, respectivement, ont leurs rapports anharmoniques égauxj on peut établir de trois autres manières la correspoiuiance entre les droites des deux faisceaux, en conservant L'égalité des rapports anharmoniques.

Il suffira de faire permuter entre elles deux droites quelconques du second faisceau, et, en même temps, les deux autres droites du même faisceau. Ainsi, soient A, B, C, D les quatre droites du premier faisceau, et A', B*, C, jy les droites coiTcspondantcs du second faisceau, lesquelles ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre premières. On pourra prendre les quatre droites du second faisceau dans l'ordre B', A', D', C, qui résulte de la permutation des deux droites A', B' entre elles et des deux C, D' entre elles, et dans cet ordre le rapport anharmonique des quatre droites est égal à celui des quatre droites du premier système A, B, C, D.

La démonstration est évidemment la même que pour deux systèmes de quatre points (4'4).

Observation. — Cette proposition, de même que celle relative à deux systèmes de quatre points, sera susceptible de nombreuses .applications qui procureront souvent des démonstra

- Manières d'exprimer VégalJté des rapports anharmoniques le deux systèmes de quatre points sur deux droites.

SO. Soient a, b, c, d et a*, b' , é , d' les deux systèmes de quatre points; l'égaillé de leurs rapports anharmoniques s'exprimera par

^ DE QUATRE p

e des éc|uations à deux termes

bd a'd' ' b'd'

31. Les seconds membres des équations (1} sont les rapports mharmoniqnes du second système; ov, chacun d'eu:

1 unité moins i

i'^'' rapport =

valeur inverse du rapport s

'— (34). D'après cela,

1 équations à trois termes, que \

exemple, nos équations se

Ces cqu:

nt d'un grand usage.