CERCLES AVANT L

le point q, il passera parlepoinl^ situé, aveoiji, sur la corde bc du cercle G. Donc le même cercle passe par les quatre poinLs m, n,p,q.

CoROLLAiiiES. — Ce théorème est susceptible de divers corollaires auxquels donne lieu la diversité des positions que peuvent prendre les deux transversales qui forment îes côtés de l'angle que l'on y considère.

I. Si l'une de ces droites est tangente à l'un des cercles, les deux cordes dans ce cercle partent du point de contact; et si la seconde droite est aussi tangente au même cercle, les deux cordes se confondent en une seule. Cette corde unique détermine sur les deux cordes du second cercle deux points par lesquels passe un cercle tangent à ces deux cordes et ayant le même axe radical avec les deux cercles proposés.

On conclut de là que réciproquement :

Quand plusieurs cercles ont le même axe radical, si par un point de l'un on mène deux tangentes à chacun des autres, les cordes que ces deux droites interceptent dans le premier cercle enveloppent un autre cercle ayant le même axe radical avec les proposés.

II. Les deux côtés de l'angle peuvent se confondre; alors les cordes interceptées dans les deux cercles deviennent des tangentes , et l'on a ce théorème :

Si une transversale rencontre deux cercles en quatre points, et qu'on mène les tangentes en ces points, les deux tangentes au premier cercle rencontrent les tangentes ctu second en quatre points situés sur un même cercle, lequel a le même axe radical avec les deux cercles proposés.

III. Si l'un des côtés de l'angle est tangent à la fois aux deux cercles {Jig- i*>7)( le théorème prend cet énoncé :

Étant donnés deux cercles, et étant menée l'uiie de leurs tangentes communes, si l'on prend les deux points do contact pour sommets de deux angles qui interceptent dans les deux cercles, respectivement, deux cordes situées sur une même transversale, les côtés de ces deux angles se rencontreront en quatre points

Chasles. — Géom. tup. 3l

49% TRAITE DE GEOMETBIK S

situés sur un même cercle qui passerapar les points d' intersection des deux proposés.

Ainsi les deux cordes c«, cb dn premier cercle rencontrent les deux c'a', (fb' du second, en quatre points ;w, », p^ (j situés sur un cercle qui passe par les points d'intersection (réels ou imaginaires) des deux premiers.

Autrement. On peut démontrer directement ce théorème et lui donner un énoncé plus complet, en ajoutant que : Si la, transversale sur laquelle sont, les cordes interceptées dans les deux cercles, tourne autour d'un point fixe de leur tangente commune, le troisième cercle reste toujours le même.

En effet, soit p le point où la transversale a^ rencontre la tangente commune te'; on a dans le triangle mc(^, coupé par la transversale ùaa',

<ic:z= D.sinc et a'f' — D'.sinc'', D et IV étant les diamètres des deux cercles ; d'où

L'équation devient donc

pc ma. me D^ mti.mc £ . pf

p"7 ma', me' D ~ ' "" ma' . me' ~ D' ' ol''

Donc, quand la transversale tourne autour du point p, le rapport ■■■■,' ■■■-, reste constant ; ce qui prouve (753) que le point m décrit un cercle ayant le même axe radical avec les deux premiers,

760. Quand trois cercles ont le même axe radical, si d'un point quelconque de l'un on mène une tangente à chacun des deux autres et ^u'on unisse les points de contact par une droite, les

NT LE MËilE AXE RADICAL. ^Sli

cordes interceptées par les deux cercles sur cette droite sont entre elles dans un rapport constant.

C'est-à-dire qu'on a ( fig. i68)

al,=r aR.sinPut et «'6'= 2R'. s'inP^'i'

R, R' étant les rajons des cercles.

Donc

«i^ R sinPa6 R Pa JV ~^ R" siiiPn'fc' ~ R' P« '

Or,, le point P étant sur un cercle qui a le même axe radica! avec les deux proposes, le rapport — — est constant (754). Donc

—--- = const, c. y. F. I,.

Réciproquement : Si l'on mène une transversale sur laijaelle deux cercles interceptent deux cordes ab, a'b' qui soient dans un rapport constant, les tangentes aux deux points tels t/ue a et a' se rencontreront en un point dont le lieu géométrique, quand la transversale changera de position, sei-a un cercle passant par les points d'intersection des deux proposés.

Car, de la relation -7-- ^^consl. on conclul, comme on vient de

le voir, -^, = const. Ce qui démontre le théorème.

CoROLLAiME. — En ne considérant qu'une transversale et les quatre tangentes en a, b et a', h', on en conclut que les deux premières rencontrent les deux autres en quatre points situés sur un même cercle; ce qui est un des corollaires du lliéorème (759).

761. Quand trois cercles ont le même axe radical, si d'un point de l'un on iiièite une tangente à chacun des doux autres, et