TRAITÉ DR GÉOMÉTBIK SUPÉRIEURE- — CHAPITRE XXX

qu'on joigne les points de contact par une droite sur laquelle les deux cercles interceptent deux cordes ab, a'b'; que l'on place les lettres a, b, a', b' aux extrémités de ces cordes, de manière que

le rapport —^, soit toujours de même signe, puis, que l'on pj'enne

les deux points qui divisent harmoniquement chacun des deux segments aa', bb'; le lieu de ces points sera un quatrième cercle ayant le même axe radical avec les proposés.

En effet, soient e, y les deux points qni divisent harmoniquement les deux segments aa' et bb'; on a

Or le rapport -^ est constant, d'après le lliéorème (760), et de même signe, par hjpotlièse ; donc le rapport — ,—-r, est aussi constant et de même signe ; ce qui prouve que le point e est sur un cercle qui passe par les points d'intersection des deux cercles proposés {7S3).

762. Réciproquement : Etant donnés trois cercles ayant le même axe radical, si l'on mène une droite qui rencontre les deux premiers en deux couples de points a, b et a', b' tels, que les deux segments aa', bb' soient divisés harmoniquement par le troisième cercle, les tangentes au premier cercle en s. et h rencontreront les tangentes au deuxième cercle en a' et h' en quatre points situés sur un cercle qui passera par les points d'intersection des cercles proposés.

En efFet, soient e,f\es points où la transversale rencontre le

troisième cercle. Puisque le point e est sur ce cercle, — 7~ri ^^^

constant (753).

Mais, les deux points e,y"divisant harmoniquement les deux segments lia', bV , on a