CERCLES AYANT L
Ce qui prouve que les tangentes on a et a' se coupent sur un cercle (760). c. q. f. d.
763. Qua/id trois cercles ont le même axe radical, si chaque point de l'un est pris pour le sommet commun de doux angles circonscrits aux deux autres, le rapport des sinus de ces angles est dans une raison constante, d'une part, avec le rapport des carrés des cordes de contact qu'ils interceptent dans les deux cercles ; et, d'autre part, avec le rapport inverse des carrés des distances du point du premier cercle aux centres des deux autres.
En effet, le quadrilatère fl/niC {fig- 169) est inscripllble; par conséquent, on a
I! en résulte ces deux expressions de sin amli :
s'iaamb = — :
zR.am
et sinrtH6=-^^
On a de même, dans le second cercle,
— =Ji
mC
Donc
ninamb f^ a m ûna'mb' R am
: 7h' R am ^
Mais -r- = coiist. (754). Don,
C, etc.
7Gi. Quand trois cercles ont le même axe radical, si cha/fue point de l'un est pris pour le sommet commun de deux angles
486 TRUTÉ bE GiJOHÉTRIE SUFÉHIBURE. — CHAPITRE XXXl
cù-cojiscrits aux deux autres, les segments que ces angles interceptent sur une transversale parallèle à la droite menée de leur sommet à un centre de similitude des deux cercle s sont entre euxdans un rapport constant.
En effet, on ^{/'g- 171)
•,S R.^w T/IA.IB I'A'.I'B'\ CP' \
Or les points I et I', qui sont les pôles de la dn ligne droite avee le centre de similitude S, et l'oi
lA.lB l'A'.I'B'
Si l'on mène une transversale parallèle à mS, les segments que les deux angles formeront sur celte droite auront leur rapport égal au premier membre de cette équation (f>28). Mais le second membre est constant (TSi), Donc, etc.
765. Lemme. — Quand deux cordes d'un cercle Jont entre elles un angle injiniment petit, le rapport des segments formés sur l'une d'elles par leur point d'intersection est égalau rapport des arcs de cercle compris entre les deux cordes.
CIJROI.ES AViNT LE MÊME XKE R.VDIC^L. 48?
C'est-à-dire que l'on a {f'g- 172) tj ^^Jjl'
En effet, que du point i comme centre et avec les rayons ia et il/
on décrive les arcsrto:, lié, on aura— = -r-s* Mais les deux Lriangles ' ' ib lie ^
aaa', bêb', qu'on peut considérer comme rectilignes, puisque les
côlés aa', hb' sont infiniment peliLs, sont semblables, parce qu'ils
sont rectangles et que les angles en a' et h' sont égaux. On a donc
766. Étant donnés trois cercles ayant le même axe radical, si un angle dé grandew variable inscrit dans l'un, et dont les côtés sont tangents aux deux autres respectivement, se meut de manière que son sommet et ses deux côtés glissent sur les trois circonférences, la corde que cet angle intercepte dans le premier cercle roule sur un quatrième cercle ayant le même axe radical avec les trois premiers .
Considéronsl'angledansl'une de SCS positions; ^o\enla[fig. ijZ) son sommet sur le premier cercle, 6, y les points où ses côlés touchent les deux autres cercles, et bc la corde qu'il intercepte dans le premier. Soit b'a'd une seconde position de cet angle, infiniment voisine de la première; les côtés ac, a' (I se coupent au point de contact Ê et les côtés ah, a'V au point de contact f. Soit a le point d'intersection des deux cordes ic, 5' </; ce sera le point où la première hc touche sa eoiu-hc enveloppe. On a, d'après le
Désignons par («, X}, (è, X), (c, X) les distances des trois points a, b, c à l'axe radical des trois cercles; on a
suriîitiEUBE.
Ce qui prouve que le point a. est le point de contact d'un cercle tangent à la corde hc et ayant le même ase radical avec les proposés; ce cercle est donc tangent à la courbe enveloppe de la corde bc. Pour le point infininaent voisin sur cette courbe enveloppe, on aurait encore un cercle tangent. Ces deux cercles auraient donc un point commun, ce qui exige qu'ils se confondent, parce que les deux cercles, ayant déjà deux points communs sur leur axe radical, ue peuvent pas en avoir un troisième. Donc la courbe enveloppe de la corde bc est un cercle qui passe par les points d'intersection (réels ou imaginaires) des trois premiers. Le théorème est donc démontré.
