CHAPITRE XXXI

PROPItlÉiÉS HT. DF.DX CERCLES, UELATIl

768. Quand deux cercles ne se coupent pas, il existe sur la ligne des centres deux points e,ydont chacun a la même polaire dans les deux cercles; la polaire de l'un passe par l'autre : ce sont les deux points qui divisent harmoniquement les deux diamètres situés sur la ligne des ceulres. Ces points sont imaginaires quand les deux cercles se rencontrent, parce qu'alors les deux diamètres empiètent l'un sur l'autre (216).

Le point situé à l 'infini dans une direction perpendiculaire à la ligne des centres jouit aussi de la propriété d'avoir la même polaire dans les deux cercles : cette droite est la ligne des centres. Mais nous ne considérerons ici que les deux premiers points e,J.

Si l'on regarde ces deux points comme des cercles d'un rayon infiniment petit, chacun d'eus aura le même axe radical avec les deux cercles proposés.

Car chacun de ces points a pour axe radical avec chacun des deux cercles un axe passant par leur milieu (745).

769, Si, ■^w >ine transversale menée arbitrairement, on prend les deux points conjugués à la fois par rapport à deux cercles, ces points sont vus de chacun des deux points e, f sous un angle droit.

En effet, la transversale rencontre les deux cercles et le point e, considéré comme un cercle infiniment petit Ç^^'^), en trois couples de points en involution (7S2); les deux pointa conjugués par rapport aux deux cercles son tics points doubles de l'involution (2H); par conséquent, ils sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points d'intersection du cercle e; donc ils sont vus du pointe sous un angle droit (7S1).

POINTS AVANT MËUE POLAIRE DANS DEUX CERCLES. ijgi

770, Quand deux cercles sont, coupés par une transversale, les cordes qu'ils interceptent sur celte droite sont vues, de l'un quelconque des deux points e, f, sous des angles qui ont la mâmc bissectrice ou dont les bissectrices sont rectangulaires.

En effet, soient e et 9 (Jig- '74) les deux points qm divisent harmonique ment les deux cordes aë, a'ë'; les deux droites es, etf sont rectangulaires (769); donc elles sont les bissectrices des angles aeS, a'eS' et de leurs suppléments (8i)- Donc, etc.

Corollaire I. — Si la transversale est tangente au cercle C (fig- 175)1 la droite menée du point e au point de contact et' est la bissectrice de l'angle aeS ou de son supplément.

ConOLLÂiKE II, — Si la transversale est tangente aux deux cercles {/ig- 1711)) les deux angles aeS, a'eê' deviennent infiniment petits, et les bissectrices sont les raj'ons ea, eoi' menés aux points de contact; le théorème peut donc s'énoncer ainsi :

Si l'on mène une tangente commune à deux cercles, les points de contact sont vus de chacun des points e, f sous un angle droit.

Autrement. Pour démontrer directement ce théorème, il suffit de remarquer que les points de contact de la tangente commune aux deux cercles sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points d'intersection du cercle e par cette tangente (752, coroll.)., d'où l'on conclut que ces deux points de contact sont vus du point e sous un angle droit (751 ).

771 , Etant donnés deux cercles C, C qui ne se rencontrent pas, si autour du point e, qui a la même polaire dans les deux cercles [fig- 177)1 on Jait tourner un angle droit dont les côtés rencontrent respectivement les deux cercles en a et a', la droite aa' détermine sur les deux cercles deux autres points b, b' :

i" L'angle beb' est droit;

2" Les tangentes aux deux cercles en leurs points a, a' ou h, h' ont leur point de concours sur un troisième cercle qui passe par les points d 'intersection des deux proposés;

3° Enfin, les deux cordes ab et a'b' sont entre elles dans un rapport constant.

49'^ THMTE DE GEOMETRIE SUPERIErBE. — CHAPITRE XXXI.

En effet, considérons le point e comme un cercle infiniment

petit, ayant le même ase radical avec Jes deux premiers (768), et appelons e et (p les points d'intersection (imaginaires) de ce cercle par la droite aa' ; les Irois couples de points a, b; a', h' et e, ç sont en involution (752). Or les deux a et a' sont conjugués par rapport au cercle infiniment petit (751), et, par conséquent, par rapport aux deux points £ et ip (696). Donc les deux b et h' sont aussi conjugués harmoniques par rapport aux deux e, cp (283) et sont, par conséquent, conjugués par rapport au cercle infiniment petit. Donc l'angle beV est droit.

Maintenant, puisque les deux points ï, 9 qui divisent harmonlquement les deux segments aa' et bU appartiennent au cercle e, qui a le même axe radical avec les deux cercles proposes, il en résulte, d'après le théorème (762), que les tangentes à ceux-ci menées par les points «, a' se coupent sur un cercle qui a le même axe radical avec les deux proposés; et, par suite, que les deux cordes ab. a'b' sont entre elles dans un rapport constant (760).

Le théorème est donc démontré.

772. Quand ti-ois cercles ont le même axe radical, si l'on mène une transversale quelconque qui rencontre le premier en deux points a, a' et les deux autres en deux points m, n respectivement, on a [fig. 178)

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mea.ûnmea'

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