MA. MA

sin).

lea.sm mea'

Donc, etc.

CoBOLiAiRE. — Si la transversale est tangente au premier cercle

POIKTS AÏAKT MEME POLAIRE DANS DEUX CEBCLKS

en un point /, on aura

Jtemafqne. — ■ En désignant par a, f;i, v les centres des trois

, MA. MA' Me S^x . t'-e ,„..,,, , ,

cercles, on a — — rrrr • ::z^ ^ — • ■ — i'oô), rapport aiiharmo- ' NA.NA' ^^^ VK vc ^ '' '^i

nique des quatre points a, jU, u, e.

773- Quand deux cercles C, C {fig- 179) ne se rencontrent pas, si deux tangentes à l'un C rencontrent l'autre en quatre points a, b et a', b', les distances de ces points au point e, qui a la même polaire dans les deux cercles, sont proportionnelles aux distances des mêmes points à la corde de contact des deux tangentes au cercle G.

En eiFet, concevons qu'un troisième cercle, ayant le même axe radical avec les deux proposés, passe par le point d'intersection o des deux cordes ab, a'b' àii cercle C, qui sont tangentes en i et 1' au cercle C; on aura, d'après le théorème précédent,

Les deux triangles

Mais le rapport — est égal au rapport des perpendiculaires

abaissées des points a el o sur toute droite passant par le point i, et par conséquent sur !a droite ii' ; on a donc, en appelântdst, ow ces perpendiculaires,

On a de même, en appelant a'<x' la distance du point «' à ia droite ii'.

^g^i TRAITÉ l)E CÉOMÉTftIE SDPÊRIEUftB.

Et, puisque les deux rapports de sinus sont égaux, il s'ensuit

Or ce qui est démontré pour le point a' s'applique au point b'\ et co qui est démontré du point a à l'égard des deux a' et i' doit s'entendre aussi du point b. Il en résulte donc que les quatre rapports— -, --- sont égaux (' ). f.. q. F. n.

774, Quand deux cercles C, C {Jig- 179) «e se rencontrent pas, si d'un point o on mène les tangealns à l'un d'eux, les^ i/uelles rencontrent le second en deux couples de points a, b et a', b', les droites menées du point e, ^ui a la même polaire dans les deux cercles, aux points a, b, a', 1/ et o donnent lieu à l'équation

t;ins^acf)bmg|^V<, tang j beo tang ^- b'eo OU

selon que lecercle C, auquel sont menées les tangenLes, st-, trouva dans l'intérietD- ou à l'extérieur du cercle C.

Supposons que le cercle G' soit dans l'intérieur de C. Soient aa;, 66, «'«', b'B' les perpendiculaires abaissées des points a, A, a', b' sur la droite ii' qui joint les points de contact des deux tangentes au cercleC; les quatre rapports — 1 — . ■•• sont égaux, comme il vient d'être démontré. Toutefois, ils n'ont pas le même signe : si les deux ■ — ) -,-t souL regardés comme positifs, les

bê i'S'"

bS, i'S' n'ont pas la même direction que les deux ait, a'a^. D'après cela, si, sur les deux rayons ea, ea! et sur le prolongement des

POINTS AYANT MÈIIB l>OT.AlRli DANS DEUX CERCLES. 49^

lIcuk eh, eV au delà du point e, on prend qualre segmenls respectifs eA, eA', eB, elî' proporlioniicls aux quatre rapports —■,

—t—.i -r-i -r-;) c'esl-à-dire eA = X — j ■■-. les quatre points A, B, n'a b^ bW aa, ^ '

A', B' seront sur une circonférence de cercle ayant son centre au

point e. Mais, d'après les relations

les deux quadrilatères abh'a' et ABB'A' sont liomologiques par rapport au point e, centre d'homologie (S39). Donc les deux côtés AB, A'B' du second se coupent en un point O situé sur la droite eo. Or on a, dans le cercle,

tangiAeO.tangjBeO = tang-^A'eO. taiig-| B'eO (709, comlL),

ou, en égard aux directions des lignes cB, el?,

taLig|«'o __ tangua' eo tang-beo tang^ b'co

Ce qu'il fallait démontrer.

Quand le cercle C est extérieur au cercle C, on démontre de la même manière que l'équation est

taTig^neo.tangl^'co := tiing-j(i'eo.tiingi^6'eo.

lAPITHE XXXII.