CHAPITRE XXXII

S CERCLES QUELCONQUES. — COKTACTS DES CliRCLËS.

I, — Propriétés relatives à trois cerclis.

775. Trois cercles, situés d'une matiière quelconque, donnent lieu, étant pris detix à deux, à six centres de similitude ; ces six points sont, trois à trois, sur quatre droites, de manière que sur l'une de ces droites se trouvent les trois centres de similitude directe, et, sur chacune des autres, deux centres de similitude inverse et un centre de similitude directe.

En effet, considérons, dans les U-ois cercles, dont les centres sont 0,0', O", trois rayons parallèles Oa, 0'a\0"a". La droite ac/ marque sur 00' un centre de similitude des deux cercles 0, O'; et ainsi des deux autres droites a'a", a"a. Or les deux triang-les OO'O" et aa'té' ayanl leurs sommets situés, deux à deux sur trois droites parallèles, les points de rencontre de leurs côtes, deux à deux respeclivement, sont en ligne droite (374) : c'est-à-dire que les centres de similitude, déterminés par les trois droites aa', a'a", (é'a, sont en ligne droite. Mais, si les trois rayons sont de même direction, chacune des trois droites passe par un centre de similitude directe (719); et si l'un des trois rayons est de direction contraire à celle des deux autres, celui-ci donne lieu à deux centres de similitude inverse, et les deux premiers à un centre de similitude directe. Le théorème est donc démonti'é.

776, Les axes radicaux auxquels donnent lieu trois cercles, pris deux à deux, concourent en un même point.

En effet, soit w le point d'intersection des axes radicaux du cercle O, avec les deux G' et O", et concevons qu'une droite

PnOPBIÉTÉS RELATIVES A TROIS CERCLES. 497

menée par ce poinl rencontre les trois cercles en trois couples de points a, a' ; b, b' et c, </ ; on aura les deiix égalités

wrt.w'!' = «i. '■>&', .^a.^a =,àc.r„c' (723, coi-olL).

Ce qui prouve que le point w appartient à l'axe radical des deus cercles O' et 0".

777. Étant donnés trois cercles, si par un mâme point on en mène trois autres passant, respectivement, par les points d'intersection des trois premiers, pris deux à deux, ces trois ceixles se couperont en un même point.

Soient U, C et C les trois cercles donnés ; par un point P on en mène trois autres A, A' et £ tels, que le premier A passe par les points d'intersection ( réels ou imaginaires ) de U et C, le second A' [)ar les points d'intersection de U et C, le troisième S par les points d'intersection deC el Cil faut prouver que ces trois cercles se coupent en un même point.

Soit P' le point d'intersection des deux A et A' : le segment PF forme une involution, d'une part avec les segments faits par les cercles U et C sur la droite PP", et d'autre part avec les segments iaits par les cercles U et C (7^2). Donc le segment PP' et les segments faits par C et G'sont en involution. Donc parles deux points P et P' on peut mener un cercle passant par les points d'intersection de C et C Ce cercle sera £.

778. Le tliéorèmc peiit prendre l'énoncé suivant, d'après lequel les deux points P, P', communs aux trois cercles A, A' et 2, pourront être imaginaires :

Etant pris sur un cercle U deux couples de points, réels ou imaginaires ['), si par les deux premiers points on mène deux cercles t/uelcon^ues C, A, et par les deux autres deux cej-cles,

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aussi quelconques, G, A', ceux-ci rencontreront, respectivement, les deux C, A en quatre points situes sur un même cercle.

En effet, appelons P, P' les points d'intersection ( réels ou imaginaires) des deux cercles A, A'. Le segment PP" forme une involution, d'nne part avec les segments que les deux cercles U et Cfont sur la même droite (752), et d'autre part avec les segments faits par les deux cercles U, C. Donc le segment PP' et les deux que les cercles C, C font sur la même droite sont en involution. Donc par les deux points P, P' on peut mener un cercle qui passe par les points d'intersection de C et C; ce qui démontre le théorème.

II, — Contact des cercles. Cercle tangent à trois auti'cs.

779. Quand un cercle est tangent à deux autres, les points de contact sont en ligne droite awec l'un des centres de similitude de ceux-ci, et les tangentes en ces points se coupent sur l'axe radical de ces deux cercles.

La première partie de celle proposition résulte du théorème (775), puisque le point de contact de deux cercles est un de leurs centres de similitude (719); et la seconde partie, du tlicorèmc (776), parce que la tangente commune à deux cercles est leur axe radical.

780. Etant donnés deux cercles O, O' [fig- i8o) auxquels on mène deux cercles tangents C, C, le premier en M et m,, et lu second en N et n,, de manière que les deux di'oites Mm, et Nn, passent par un même centre de similitude des deux cercles O, O' :

i" L'axe radical des deux cercles C, C passera par ce point ;

2° Un centre de similitude de ces deux cercles se trouvera sur l'axe radical des deux O et O', à l'intersection des deux cordes MN, m,n,.

En effet, i°on a SM.Sm, = SN.S«, (733). Donc le point S appartient à l'axe radical des deux cercles C, C ( 723, coroll. ).

a" Les deux droites MN, m^n^ se coupent sur l'axe radical des deux cercles O, O' (730). Chacune d'elles passe par l'un des centres de similitude des deux cercles C, C (779) ; il faut prouver que c'est par le même. Supposons que S soit un centre de simili-

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lude directe, les deux poiiiLs M et m, seront nécessairement deux centres de similitude'de même nom ( directe ou inverse ) du cercle C avec les deux O, O' (775), Et de même des deux points N, n,. Donc les droites MN et 7)i|«i joignent, chacune, deux centres de similitude tels, que si les deux premiers sont de même nom ou de noms différents, il en est cîeméme des deux autres ; par conséquent, dans les deux cas, les deux droites passent par un même centre do similitude des deux cercles C, C (775).

Le raisonnement est le même si le point S est un centre de similitude inverse. Le théorème est donc démontré.

781. Le centre de similitude des deux cercles G, C est sur l'axe radical des deus O, O' à l'intersection de la corde MN (780). Par conséquent, ce point peut être pris arhitrairement, c'est-à-dire que;

Une droite L étant menée par l'un des centres de similitude de deux cercles O , O', et un point étant pris sur leur axe radical, on peut déterminer deux cercles C, C tangents aux deux O, O', qui aient pour axe radical la droite L, et pour centre de similitude le point donné.

Il suffît de mener par ce point une droite passant par le pôle de la droite L par rapport à l'un des cercles O, O'; cette droite marquera sur ce cercle les deux points de contact des deux cercles tangents qui satisfont aux deux conditions de la question,