Mener un cercle tangent à trois autres

Soient O, O', O" les trois cercles proposés,- et S, S', S" leurs trois centres de similitude directe.

On peut mener deux cercles tangents à l'un des trois O, O', O", qui aient pour axe radical la droite SS'S" et pour centre de similitude le point de concours des trois axes radicaux des cercles O, 0', O"; et, d'après le théorème précédent, ces deux cercles seront tangents à chacun des deux autres cercles.

Pour déterminer ces cercles, on cherchera les pôles de la droite SS'S" dans les cercles O, O', O" ; et l'on mènera par ces points des droites concourantes au point d'intersection des trois axes radi-

5oo TRAITÉ DIS GÉOUÉTHIE SUPÉRIEUHE. — CHAPITRE XSSll.

eaux; ces droites rencontreront, respectivement, les trois cercles en des points qui seront les points de contact de deux cercles satisfaisant à la question.

Pour chacune des trois autres droites sur lesquelles se trouvent, trois à trois, les six centres de similitude des trois cercles proposés, on aura deux autres cercles tangents. De sorte qu'il existe, en général, huit cercles tangents à trois cercles donnés.

783. Cette solution d'un problème qui a été résolu, dans tous les temps, de bien des manières, est la plus simple ('); elle se prête à tous les cas particuliers qui résultent des bypolbèses que l'on peut faire à l'égard des trois cercles, en supposant qu'ils deviennent des points ou des droites.

Quand un cercle se réduit à un point, ce point est lui-même son centre de similitude avec un autre cercle; et nous avons vu que l'axe radical est à égale distance du point et de sa polaire par rapport au cercle (749).

Quand un cercle devient une ligne droite, parce que son rayon est devenu infiniment grand, son axe radical avec un autre cercle est cette droite elle-même. Les points que l'on considérera comme les centres de similitude de la droite et d'un cercle sont les extrémités du diamètre de ce cercle perpendiculaire à la droite. Car ce sont les points qui conservent une propriété caractéristique des centres de similitude, savoir que le rectangle des distances d'un centre de similitude à deux points homologiques ou anti-homologues est constant (734).

(') Cette aolulion est due à Gergonne (voir Âii:>ales de Mmhéminii/ui-s, t. IV, p. 3f{9, année iS]4)' M, Gaultier, de Tours, en avnit beaucoup approché, dans son Mémoire sur les moyens généraux de camiruire graphiquement un cercle déterminé par trois conditions et une sphire déterminée par quatre conditions (voir Journal de l'École Polytechnique, XVI" Cahier, iBi3); ear il démontre : i° que chaque droïlo telle que SS'S", qui contient trois des eii centras de similitude des trois cercles proposés O, 0', O', est l'axe radical de deux cercles C, C satisfaisant à la question; î" que la corde qui joint les deni points de contact de ces cercles avec l'un des trois O, 0', 0" passe par le point de concours des trois ases radicauï de ceux-ci; 3' que les tangentes en ces deui points de contact ont leur point de rencontre sur la droite SS'S". Pour conclure de là In conairuclion précédente, il suffisait de remarquer, comme conséquence de cette dernière proposition, que la corde qui joint les deux points de contact sur l'un des cercles proposés passe par le pâle de la droite SS'S" relatif il ce cercle, iiuisque le pû/c de cette corde est, lui-niÉmo sur cette droite.

Mivrs A Tiiois cKRcr.KS. 5oi

On a, en effet,

SM.Smi~coast. (681).

784. D'après cela, on applique sans aucune difficulté la solution générale aux cinq questions suivantes :

1° Mener par un point un cercle tangent à deux cercles.

La question admet quatre solutions, parce qn'il y a deux droites qu'on peut considérer comme contenant chacune trois centres de similitude.

a° Mener un cercle tangent à deux cercles et à une droite. Huit solutions, parce qu'il y a six centres de similitude placés, trois à trois, sur quatre droites dont chacune donne lieu à deux solu-

3" Faii-e passer par deux points un cercle tangent à un cercle donné.

Deux solutions seulement, parce qu'il n'y a qu'une droite qu'on puisse regarder comme contenant trois centres de similitude, savoir, la droite qui joint les deux points proposés.

4" Mener un cercle tangent à un cercle et à deux droites.

Huit solutions, répondant, deux à deux, aux quatre droites qui joignent les centres de simihtude relatifs au cercle et à l'une des droites proposées, aux centres de similitude relatifs à l'autre

5" Mener par un point un cercle tangent à un cercle et à une droite.

Quatre solutions répondant, deux à deux, aux deux droites menées du point proposé aux deux centres de similitude relatifs au cercle et à la droite.

i: GEOMliTRlE SUPERIEfRE. ■