I. — Ce qu'on entend par Vexprcssion cercle imaginaire

785. Quand les formules ou relations qui ont servi à déterminer des points ou des droites relatives à un cercle, et à démontrer quelque proposition, contiennent le rayon du cercle au carré et non à la première puissance, si l'on suppose ce carré négatif, les expressions subsistent, ainsi que les résultats qui s'y rapportent; c'est-à-dire qu'elles donnent lieu encore à des points et des droites, et à des propositions y relatives ; mais ces points et ces droites se trouvent différents des premiers, ou plutôt dans des positions différentes. On dit alors que le cercle que l'on considérait en premier lieu est devenu i/nag-i/iflirej et que les propositions résultantes des formules se rapportent à ce cercle imaginaire. C'est ainsi que l'on agit en Géométrie analytique.

Ce que nous disons des réstdtats dérivés de relations ou formules analytiques doit s'entendre de résultats fondés sur des constructions qui subsistent quand on suppose que le carré du rayon d'un cercle devient négatif, de même que des constructions peuvent subsister quand on suppose que deux points deviennent imaginaires, comme nous l'avons yu souvent, par exemple dans la théorie du rapport harmonique de quatre points, où deux points conjugués peuvent être imaginaires.

Nous ferons en Géométrie pure ce que l'on fait en Géométrie analytique : nous admettrons que, soit dans des formules, soit dans des constructions qui n'impliquent que le carré du rayon d'un cercle, ce carré devienne négatif; et nous dirons que le cercle est imaginaire.

Il n'y a point, bien entendu, de cercle imaginaire, et ce mot n'est qu'une fiction qui sert à rattacher les résultats obtenus à un

CEnCLE lUiVGINAlRE.

autre cas de la question générale, dans lequel la présence d'un cercle procure une image ■visible el une notion parfaitement claire des propriétés de la figure. Mais il faut observer que ces propriétés sont toujours susceptibles d'une expression différente et, à certains égards, plus générale, dans laquelle on fait abstraction du cercle, soit réel, soit imaginaire. Il faut regarder que le cercle n'a été qu'un être auxiliaire qui a servi de lien entre les parties de la figure et a donné lieu à une expression de leurs relations plus simple et surtout faisant image. Cette expression et l'image visible oar laquelle elle se produit disparaissent et n'ont plus de réalité quand on suppose le carré du rayon négatif et le cercle imaginaire, quoique les relations qu'elles ont servi à exprimer subsistent toujours,

786. Pour répandre tout le jour possible sur ces considérations, prenons, un exemple.

On appelle polaire d'un point relative à un cercle une droite que l'on détermine de plusieurs manières ;

1 " En menant par le point donné p deux tangentes au cercle ; la corde qui joint les points de contact est la polaire ;

2" En menant par le point p une transversale qui rencontre le cercle en deux points a, a'; les tangentes en ees points se coupent sur la polaire cherchée, dont on détermine un second point, soit au moyen d'une seconde transversale, soit en prenant sur la première le point conjugué harmonique du point ;;, par rapport aux deux a et a'',

3° En menant deux transversales paa', phb', puis les droites nV , ba! , lesquelles se coupent sur la polaire, ainsi que les deux ah,a'V\

4^ En prenant sur les deux cordes aa' , hh' les points conjugués harmoniques du point p, lesquels se trouvent sur la polaire ;

5" Enfin, en prenant sur la droite qui va du point p au centre C du cercle le point e déterminé par la relation Ce.Cp = R-, et en élevant par le point e une perpendiculaire à la droite p C.

Les trois premières manières de construire la polaire du point p exigent que le cercle soit tracé, de sorte que la polaire se rapporte exclusivement à la circonférence du cercle et ne présente aucun autre caractère. Il n'en est pas de même des deux autres modes de

Soj TBAITE DE GEOMETRIE srPEElEUBE. — CHAPITRE XXSIIl,

construction ; on n'y fait pas usage nécessairement de la circonférence du cercle, mais seulement de la position de son centre et du carré de son raj'on.

Il en résulte que les propriétés de cette droite, que nous appelons polaire, ou celles d'un système de droites déterminées de même, propriétés qu'on rapporte à un cercle, peuvent s'attribuer simplement à un point (centre du cercle) et au carré d'une ligne, et s'énoncer abstraction faite du cercle.

Par exemple , au lieu de dire que les polaires des différents points d'une droite, prises par rapport à un cercle, passent toutes parim même point, on pourra dire que, si des points p, p', p" , . . - d'une droite on mène à un point fixe C des rayons pC, p'C, . . . sur lesquels on prend des points e, e', ... déterminés par les relations Ce.Cp^ R*, Ce'.Cp'= R-, . . . , et que par ces points on mène les perpendiculaires aux droites Gp, Cp', . . . , toutes ces perpendiculaires passeront par un même point.

Cet exemple montre comment des propriétés, qui paraissent concerner nécessairement le cercle, peuvent néanmoins dériver de relations plus intimes qui permettent de faire abstraction du cercle dans leur énoncé.

787. Maintenant on voit que, le cercle se trouvant ainsi éliminé, rien n'empêche de supposer le carré R^ négatif, et qu'alors la constmction du point e, dépendante de l'équation Ce. Cp^ — R^, subsistera, et que la perpendiculaire menée par ce point donnera lieu aux mêmes propriétés que dans le premier cas. Mais cette droite n'est plus Xa. polaire A'MO.'^OvaXrelative à un cercle. Carie pointe, par lequ 1 n 1 1 j erpendiculairement au rayon Cp, n'est plus sur ce r y n 1 n m , comme dans le cas d'un cercle, mais bien sur son p 1 ng n n udelà du point C, puisque le produitCp. Ce est nég f 11 faud donc, à la rigueur, dans ec cas de R^ négatif, dén n m I d oite et exprimer ses propriétés d'une autre manière n fa ntervenir le cercle. Cependant on peut con-

server à d la dénomination de polaire, en disant polaire

relative n 1 naginaire et en convenant que ce mot ima-

ginaire signifie simplement que le carré R^, qui entre dans la formule qui sert à la construction de la droite, est négatif.

Cette idée d'un cej-cle imaginaire est donc une pure fiction, à

laquelle on a recours pour conserver aux propositions des énoncés simples et faisant image, qui, à la rigueur, ne s'appliquent qu'à un cas spécial, celui où, le carré R^ étant positif, on peut décrire un cercle dans la figure.

Ainsi, l'on conçoit bien comment des propositions qui, d'après leur énoncé, sembleront se rapporter exclusivement à un cercle imaginaire, et, par conséquent, n'avoir aucune signification réelle, exprimeront néanmoins des vérités mathématiques portant sur des choses toutes réelles et ayant une signification parfaitement définie et susceptible d'une autre expression, indépendante de l'idée du cercle.

788. D'après ces considérations , nous dirons d'une manière générale que toutes les relations ou constructions dans lesquelles n'entreront, soit directement, soit implicitement, que le centre et le carré du rayon d'un cercle s'appliqueront au cas où ce carré sera négatif; mais que, pour conserver le même langage, les mômes définitions et le même énoncé dans les théorèmes, nous poiurons dire que ces relations et constructions se rapportent à un cercle imaginaire.

Ce que nous ferons ainsi est ce que l'on fait en Analyse, et c'est pour bien fixer les idées et éviter le doute et les interprétations que l'on a parfois cherché à donner des imaginaires en Géométrie, que nous sommes entré ici dans des explications minutieuses que l'on néglige en Géométrie anal; tique.

789. Souvent il arrive que des propositions auxquelles on conserve, dans le cas d'imaglnarité de quelque quantité, telle que le rayon d'un cercle, leur énoncé primitif que l'on rapporte à un objet imaginaire, sont susceptibles d'un énoncé particulier très différent du premier, et néanmoins fort simple et faisant image aussi, mais d'une autre manière. Alors les résultats analytiques ou les constructions qui, dans le premier cas, se rapportaient à une figure, telle qu'un cercle, expriment, dans le second, des propositions qui peuvent être tout h fait étrangères au cercle et d'un genre très- différent des premières.

Cela provient de ce que, bien que l'hypothèse relative au carré du rayon d'un cercle, que l'on fait négatif, ne modifie pas le sens

5o6 TRAITÉ DE GÉOUÉTHIE SUPERIEURE. — CHAPITRE XXXIII.

inlime de la proposition démontrée et, en général, les propriétés de la figure, néanmoins elle modifie soit les positions relatives des diverses parties de la figure, soit même sa configuration générale.

Or on conçoit que cette configuration de la figure puisse se rattacher ou donner lieu à quelque autre conception que celle d'un cercle. Nous allons trouver, dans la suite de ce Chapitre et dans le suivant, de nomhreus exemples d'une telle transformation de théorèmes en d'autres différents.