II. — Propriétés relatives à an cercle imaginaire

790. Les points d' Inter.se c lion d'une droite et d'un cercle imaginaire sont deux points imaginaires, que nous désignerons par s, tf, dont le milieu O est le pied de la perpendiculaire abaissée du centre C du cercle sur la droite, et dont le carré de la distance à ce point milieu est, comme dans le cas d'un cercle réel (788),

Ô7^=ll'— CÔ' (637);

et, de même, le rectangle des distances des deux points imaginaires à un point p de la droite est égal à

Mais ici, où le cercle est imaginaire, R-, carre du rayon, est une quantité négative — R'-, et il vient

Ô^' = — (R'^-i-Co'), F-Pî' = (p<^ -l-R'^)-

Il faut bien remarquer que dans ces formules R" ne représente plus le carré du rayon comme R' dans les premières, mais ce carré affecté d'un signe contraire.

Ces formules donnent lieu à des expressions géométriques trèssimples du carré Os et du rectangle p£.p(p. Ce carré et ce rectangle, dans l'état actuel de la question, impliquent l'idée de points imaginaires, et, au contraire, leurs nouvelles expressions se rapporteront exclusivement à des objets réels.

CERCLE IJUGINAIRK. 507

En effet, que par le centre C du cercle imaginaire on élève une perpendiculaire au plan de la figure, dont le carré CS soit égal à R'^, c'est-à-dire au carré du rayon du cercle imaginaire pris avec un signe contraire. On aura

O^c' = — (es' -H CÔ' ) = — SÔ' ,

Ainsi le rectangle ps.fç exprime simplement le carré de la distance du point p au point S situé au dehors du plan de la figure.