III. — Autres équations a trois termes

o!2. En prenant sur la droite a' h' un point arbitraire , peut exprimer l'égalité des deux rapports anliarmoniqui l'équation

car le premier membre exprime le rapport anbarmonique des quati-e points a, b, c, d, et le second membre, le rapport anbarmonique des quatre points «', h', c\ d' (36). Cette équation prend

34 TRAITÉ DE GËOMÉTHIE STIPiîRlEURÏ

une forme plus simple, savoir :

ii'Ù' av. ad <-<'</ ad. ah a'd' ah.ac OU

[3) ab.cd.'"— -^>w.db.'^X+ad.bc."-^z^o.

On aura de même, en prenant un point m sur la droite ab, ( 3' ) a'/,'. c\e . '^ + a'c'.d'b' . ^ + a'd' . &'<■' . '^' = O.

53. Les points ni, m' sont arbitraires ; si on les suppose à l'infini, et que l'on divise la première équation par m' d' el la seconde

par Hii/, les rapports - , ,, j "ti-' ■■- deviennent égaux à l'unité

et l'on a

, , , ab.cd ac . db nd . bc

aV .c'd' a'c'.d'b' a'd'.b'c'

Chacune de ces quatre équations (3, 3', 4 et 4') exprime l'ég-alité des rapports anharmoniques des deux systèmes de quatre points,

54. Remai'quons que l'équation (3) s'écrit de manière à rie contenir que des rapports anharmoniques, savoir :

l'Ji - 'i] l'^K ■ -J!:] + i'^:t\ (^ ■ ':.^] ,= „.

\ad cd) \m'd' a'd' j \ad bd j \m'd' a'd'

Il en est de même de l'équation (3'}.

§ IV. — Manières d'exprimer l'égalité des rapports anharmoniques de doux faisceaux de quatre droites.

55. L'égalité des rapports anharmoniques de deux faisceaux de quatre droites s'exprime évidemment par des équations sem-

DEUX SVSTEJIËS DE OUATRE POINTS,

Iilables aiiï précédentes, telles que

>m(A,C).Mii(I),C)

.in!A',

, C').si„(B'

si» (A-,

ni,(*. C).!in(B,C)

sm{A'

, B') sin[C'

sm(A, l))"siii(B,Dj

sm(A'.

,D') "sinlG'

,in(C,D);

««(ir.B'j

iin(A',B')

5În(D, B)

.in(H',C') sin(A',C']

sir.(B,C)

sindl'.D')

CetLe dernière dérive de l'équation (3), dans laquelle on peuL remplacer les segments par des sïniis, parce que l'équation s'écrit de manière à ne présenter que des rapports anharmoniqiies (S-i)-

g V. — Manières d'exprimer qu'un faisceau de quatre droites a son rapport anharmonique égal à celni de quatre points.

S6. Soient A, B, G, D les quatre droites, et (^f b', c', d' les quatre points qui leur correspondent, un à une, respectivement, comme s'ils provenaient de l'intersection de ces droites par «ne transversale.

L'égalité des deux rapports anharmoniques s'exprime évidemment par les équations (i) et (a), dans lesquelles on remplace le rapport anharmonique des quatre points a, é, c, d par celui des quatre droites A, B, C, D, ce qui donne des équations telles que

l sm(A. B)sin(C, D)-^Jr -!-siii(A, C)sm(D, B) ^ + sin(A, D)sîn[B, C) ~

.in(A,C).

.in(A,D)-

sm(B,Cl »V.6V sin[B, D) flVfcW

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