La formule

Cc.Cp = K.^

qui sert à la construction de la polaire d'un point jû, donne lieu de même à une interprétation géom éti'ique fondée sur la considéralion du point S, extrémité de la perpendiculaire CS ^= R'.

En effet, R* étant négatif, les deux points p et e sont de part et d'autre du point C, comme nous l'avons vu précédemment (787), et l'on a

Ce.Cp = CS';

ce qui prouve que l'angle eSp est droit. On peut donc dire que :

Si, par le centre G d'un cercle imaginaire, on élève sur le plan de la figure une perpendiculaire CS égale à son rayon supposé réel, la droite menée du point S à un point p de la figure est perpendiculaire au plan mené par ce point S et la polaire du point p relative au cercle imaginaire.

792. Le point p et un point quelconque p' de sa polaire sont deux points conjugués par rapport au cercle (696). Les droites menées du point S à ces deux points sont rectangulaires, puisque l'une est dans un plan perpendiculaire à l'autre (791 ). Donc ;

Deux points conjugués par rapport au cercle imaginaire sont vus du point S sous un angle droit.

Réciproquement : Deux points vus du point S sous un angle droit sont deux points conjugués par rapport au cercle imaginaire.

5o8 TH.VITE DE GEOJIETBIE StPËRIEllRi;. -- CHAMTfiE XXXIII.

Cela est évÎLlent.

793. La polaire du point p' passe par le point p. Le plan mené par le point S et par cette droite est perpendiculaire à la droite S(5'(791); par conséquent, il est perpendiculaire à tout plan passant par cette droite, et, en particulier, au plan mené par ie point S cl la polaire du point p, puisque cette droite passe par le point p'. Donc les polaires des deux points p et p' sont dans deux plans rectangulaires menés par le point S. Or ces deux polaires sont deux droites conjuguées par rapport au cercle imaginaire. Donc :

Deux droites conjuguées, relatives au cercle imaginaire, étant vues du point S, paraissent rectangulaij'es.

Réciproquement ; Deux plans rectangulaires, menés par le point S, rencontrent le plan de la figure suii'ant deux droites conjuguées par rapport au cercle imaginaire.

Car le pôle de chacune de ces droites sera sur l'autre (791 ).

794'. Ces propriétés permettcnl de substituer le point S au cercle imaginaire dans la définition des points conjugués comme dans celle de lu polaire d'un point; de sorte que la notion de ce cercle disparaîtra dans les énoncés des théorèmes où il sera question des points et des droites qui s'y rapportent. Toutefois, ce cercle imaginaire aura servi, par ses relations générales avec d'autres parties de la figure, par exemple avec certains cercles réels, à procurer les théorèmes auxquels on donne une autre expression.

Nous ferons plus loin (Chap. XXXIV) diverses applications de ces considérations, qui seront extrêmement utiles.

793. L'axe radical d'un cercle réel et d'un cercle imaginaire est une droite perpendiculaire à la ligne des centres, menée par le point ii de cette ligne déterminé par l'équation

oc'— R^ = îiC'" — R''.

dans laquelle R", qui représente le carré du rayon du cercle imaginaire, sera une quantité négative.

De même, deux cercles imaginaires ont un axe radical perpen-

dicitlfiire à leur ligne des centres, mené par le point 0 de cette ligne déterminé par la relation

dans laquelle les deux expressions R- et R'-, qui représentent les carrés des rayons des deux cercles, seront deux quantités négatives.

796. Un cercle réal el, un cercle imaginaire aâmeUent tou~ jours deux cercles infiniment petits, ayant avec eux le même ax« radical.

En effet, il existe sur la ligne des centres deux points qui divisent harmonique ment les deux diamètres; et ces deux points sont toujours réels, puisque l'un des diamètres est imaginaire. Ces deux points sont les deux cercles infiniment petits en qucs-

ti„„ (768).

797. Un cercle réel et un cercle imaginaire ne peuvent pas avoir de quadrilatère circonscrit ; mais il existe deux points qui jouissent de la propriété caractéristique des sommets du quadrilatère circonscrit à deux cercles (745). Cette propriété, c'est que si par un sommet on mène deux droites conjuguées par rapport à un cercle, elles sont conjuguées par rapport à l'autre cercle.

Ces deux points existent toujours à l'égard de deux cercles, dont l'un est réel et l'autre imaginaire.

■ Pour démontrer cette proposition, observons d'abord que, pour qu'un point jouisse de la propriété en question, il suflit qu'elle ait lieu à l'égard de deux systèmes de droites conjuguées ; ce qu'on conclut de ce que trois systèmes de deux droites conjuguées forment une învolution (698).

Soient C et C [fig- iSi) les centres des deux cercles, le premier réel et le second imaginaire. Il existe sur la droite CC deux points «, /conjugués par rapport aux deux cercles, et ces deux points sont toujours réels (796).

Soient F, F' les points d'intersection du cercle décrit sur CC comme diamètre et de la perpendiculaire à cette droite, menée par le point e, celui des deux points conjugués e,/qui se trouve dans

l'intérieur du cercle C ; je dis que chacun de ces points F, F' jouit de la propriété demandée, savoir, que deux droites coEJuguéespar rapport à l'un des cercles, menées par l'un de ces points, sont conjuguées par rapport à l'autre cercle. Il suffit de prouver, comme nous l'avons dit, que cela a lieu à l'égard de deux couples do droites conjuguées.

D'abord, les deux droites Fe, F/' sont conjuguées par rapport aux deux cercles, car le pôle de la première, dans eiiaeun des cercles, se trouve en/'sur la seconde.

Ensuite, les deux droites FC, FC'sont aussi conjuguées par rapport aux deux cercles; car ces deux droites étant rectangulaires, d'une part le pôle de CF, dans le cercle G, est à l'infini sur la droite FC, et d'autre part le pôle de CF, dans le cercle C, est sur le rayon CF qui lui est perpendiculaire.

Donc le point F jouit de la propriété annoncée.

Observation. — Il suit de là cjue les propriétés relatives à deux cercles et à deux sommets opposés de leur quadrilatère circonscrit, telles que les théorèmes (745) et (746), s'appliqueront au système de deux cercles dont l'un réel et l'autre imaginaire.

Cette remarque nous sera utile.

798. Deux cercles imagùiaires admettent deux points dont chacun jouit de la propriété i/ue deux droites conjuguées par rapport à l'un des cci-cles, menées par ce point, sont conjuguées par rapport à l'autre cercle.

Ces deux points se déterminent comme les centres de similitude de deux cercles réels. Les carrés des rayons des deux cercles étant — R- et ^ — R'-, et leurs centres étant en C et C, on prend

-,—=—7 et irpu'-^ — ^T" Les deux points S, S' satisfont à la 3CB.bC. K-

question.

En effet, les pôles d'une droite menée par le point S seront sur

les perpendiculaires à cette droite, CP, CP', menées par les centres

des deux cercles, à des distances

CQ R- , GP

„ CP R , CQ R . . .

' C'F^R'' C'"<y~ii'' '^^ '^"' prouve que les points

Q, Q' sont en ligne droite avec le point S.