Considi-iatioiu prclimmaircs

700 Si sui !ed[\meUL AA' d'un cftrde C {Jîg. 182), on prend deiw poiuta e J qui dniicnt (.e diimèti'e harmonique ment et que, sui' le segment «y comme diimetie on decnve une circonférence de cercle S dans le plan [lerpendiculaiie luplan du cercle C, les points de ce cercle jouiront de propriété;, foit 1 emarquables, dont la plupart présentent une analogie parfaite ;tvec celles qui appartiennent aux deux points e,/(768-774). Ces propriétés se concluent de celles auxquelles donneraient lieu des cercles imaginaires qui auraient pour centres les projections u des points S du cercle 2 et dont les carrés des rayons seraient égaux aux rectangles négatifs tels que oe.tr/. En substituant à ces cercles imaginaires des points situés au dehors du plan de la figure, comme il a été dit précédemment (794), on donne aux diverses propositions des expressions nouvelles, qui constituent des théorèmes en iipparence très- différents.

Ces théorèmes eux-mêmes peuvent prendre des énoncés plus simples encore en présentant un caractère mieux déterminé; car on peut les rapporter directement aux cônes qui ont [Wur bases les cercles de k figure et pour sommet commun le point pris dans l'espace sur le cercle 2. De là dérivent donc natureliement des propriétés des cônes i base circulaire.

Ces propriétés ne sont au fond que la traduction, dans un langage diffél'ent, de celles qui appartiennent à un système de cercles situés dans un même plan. Au nombre de ces cercles s'en trouve un imaginaire; et c'est celui-ci, ou plutôt cette idée fictive d'un cercle imaginaire (783), qui permet de donner ans théorèmes l'expression qui en fait des propositions toutes nouvelles et relatives non plus à des cercles, mais à des cônes substitués aux cercles primitifs.

Cette théorie offre un exemple assez remarquable des transform

c6ne a base circulaire. 5]^

auxquelles les imagmiiîres peuvent donner lieu en Géométrie ; de pareils exemples se reproduiront dans d'autres questions i m portantes, notamment dans la théorie des coniques.

800, Qne par le milieu du segment ef on élève la perpendiculaire iiX ; cette droite sera l'ase radical commun au cercle C et à chacun des deux points e, f considérés comme des cercles infiniment petits (796) ; et si un point a pris sur ce segment est regardé comme le centre d'uu cercle imaginaire dont le carré du rayon est égal à oe.af, ta droite ilX sera aussi t'axe radical commun à ce cercle et au cercle C ; car les deux points e,f, conjugués par rapport au cercle C, par hypothèse, le sont aussi par rapport au cercle <r, puisque le carré de son rayon est égal au produit ne. if: par conséquent, la perpendiculaire à la ligne des centres aC menée par le milieu de ces deux points e, f sera l'axe radical des deux cercles.

801. Le carié de la distance tV nn point fixe S pris sur le cercle 2, a un point quelconque m du cercle C, esta la distance de ce point m à la droite llX dans une raison constante.

En effet, considérons deux points m, m' du cercle C; la droite mm' rencontre le cercle imaginaire a, dont le carré du rayon est égal au rectangle ■je.af, en deux points imaginaires s et y; et l'axe radical de ce cercle g et du cercle C étant la droite nX, on a

mp et m'p' étant les distances des points m, m' à l'axe radical [737). Or

mi.m-^—m'à et m'i.in'^=m'S (790). Donc

inS mp m S m' S

802. Le rapport des distances de deux points fixes fi. S', pris s cercle 2, à un point quelconque du cercle C, esl constant.

Cela résulte immédiatement du théorème précédent.

CHASLts. - Géom. sus. 33

5l4 TB*1TÉ I>B GÉOMÉTBIE SUPÉRIEURE. — CHAPITRE XXXIV.

803. Si d'un point de la droite ftX on mène une tangente au cercle C, elle sera égale h la distance de ce point à un point quelconque du cercle 2.

En effet, soient at cette tangente et s, ç les points où elle rencontre le cercle imaginaire o-, dont le carré du rayon est (re.o-/; on aura (723, co-

Or f7e.a-/=-aS" (790). Dot

804'. Si, sur la dmite !1X, on prend deux points conjugué, par rapport au ccivle C, les droites menées d'un point S du ceri:!e 2 à ces deux points sont toujours rectangulaires.

Car, cette droite ilX e'tant l'axe radical commun au cercle C et au cei-cle imaginaire g (800), les deux points sont conjugués par rapport au cercle u et, par conséquent, ils sont yus dn |K)int S sous un angle droit (792).

On condnt de la que Un point S étant pus au-deisiis du plan d un cercle, il existe dans ce plan une dioite '' "K. telle, que deux point con jugues I ar rapport au cercle pris sur cette d/oite sont toujou s lus du po it S sous un angle dioit

Jtemarque — Il n'existe quune droite qui jouisse de celt jnopiief cil quind deux points Lonjugues pai lappoit au ceicle sont vuf s us un ingle dioit, ils sont tussi conjugués pat i ipport au ceicle iniJginure, qui I son centte au jiied de la perpendicuhiie ibiissee du point S sui le plan de la figuie (792) Consequemment, h dioite sui laquelL sent pris ces systèmes de deux points conjugues est 1 ixe ndical commun i ix deux ceicles (727) Donc il ne peut existei qu une telle dioite

805. Concevons le cône qui a son sommet en S et pour base le cercle C. Tout plan parallèle au plan déterminé par le point S et l'a.-re llX coupera le cône suivant un cercle. Car, si l'on fait tourner autour de deux points fixes P, P' du cercle C les côtés d'un angle dont le sommet décrive la circonférence, ces côtés intercepteront sur l'axe ilX un segment qui sera vu du point S sous un angle de grandeur constante (659). Maintenant; si l'on mène un plan coupant, parallèlement au plan qui passe par le point S et l'axe aX, on aura, dans ce plan, la courbe d'intersection du cône et un angle dont les côtés tourneront autour de deux points fixes de cette courbe, pen-

CÔNE A BASE CIRCULAIRE. 5l5

liant que le sommet glissera sur cette même courbe ; et les côtés de cet angle seront parallèles aux droites menées du point S aux extrémités du segment intercepté sur ilX par les côtés de l'angle tournant dans le plan du cercle autour des deux points P, P'; donc cet angle, compris dans le plan coupant, sera de grandeur constante. Donc son sommet décrit un cercle. Donc le plan coupe le cône suivant un cercle.

806. On conclut de là qa'u/i cône à base ciivula ire peut être coupé suivant un cercle d'une seconde manière, c'est-à-dire par un plan non parallèle ;iu plan de sa base; et qu'ii n'existe pas un troisième plan donnant une section circulaire [ 804., Rem. )

Les plans menés par le sommet d'un cône parallèlement aux plans des sections circulaires s'appellent les plans ejcliqaes du cône.

Ainsi, l'un des plans cycliques du cône qui a son sommet en S sur le cercle 2 et pour base le cercle C est parallèle au plan Je ce cercle, et l'autre est le plan mené par le point S et l'axe iiX.

II. — Propriétés relatives aux plans cycliques d'un cône à base circulaire.

807. Dans un cône à hase circulaire, le produit des sinus des angles que chaque arête fait airec les deux plans cycliques est constant.

En effet, le sinus de l'angle que la droite Sw [fig. i8a) fait avec le plan du cercle C est égal à ^ ■

Le sinus de l'angle que la méine droite fait avec le second plan cyclique

(S, OX) est égala ^-^> mq étant la perpendiculaire abaissée du point w

sur ce plan. Cette perpendiculaire est proportionnelle à la distance mp du point m à la droite aX; ainsi, le sinus de l'angle que la droite Sm fait

avec le plan (S, iiXl est l.-^- Le produit des deux sinus est donc

\ '-1—E . Mais on a Sm =^.mp [801); ce produit devient donc - St;

Sm' ' i"

quantité constante. Donc, etc.

808. Tout plan tangent à un cône à base circulaire coupe les deux plans cycliques suivant deux droites qui sont également inclinées sur l'arête de

En effet, on a wï^wS (803). Donc le triangle (wS est isoscèle eî ses

5l6 TR.lirÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — CHANTRE XKXIV.

angles en ïet S sont égaux, c'est-à-dire (jue l'aréte de contact St du plan tangent au cône fait des angles e'gaux avec les deux droites «S, wï. Or le l>Ian SruX est l'un des plans cycliques du cône, dont l'autre est parallèle iiu plan de la figure (806]. Donc la droite «S est l'intersection du premier |)lan cyclitiue par le plan tangent au cône, et la droite ai est parallèle à l'intersection du second plan cyclique par le même plan tangent. Le théol'èine est donc démontré.

809. Toul plan tangent h un cône à base circulaire coupe ilcux plans cycliques suivant deux droites qui font, ai'ec la droits d'intersection de ces deux plans, des angles tels, que le rapport des tangentes trigonométriques des demi-angles est constant.

En effet, si de cliaque point w de l'axe OX on mène une tangente aii cercle C et la droite «e, on a

— 5J = const. 7il .

tang|eo)ii * '

Mais l'angle S&^O est égal à l'angle ewii. Doue

langj/<»n

— , - - = const. ;

taog^Swfl

équation qui démontre le théorème.

810. Les quatres droites, suivant lesquelles deux plans tangents à un cône à base circulaire coupent les deux plans cycliques, sont situées sur un cane de révolution dont l'axe est peijiendiculair-e au plan des deux arêtes de contact.

En effet, cbacun des plans tangents coupe les deux plans cycliques suivant deux droites qui sont également inclinées sur l'aréte de confcict (808) et, par conséquent, sur tout plan mené par celte arête, et en particuliei' sur le plan des deux, arêtes.

Considérons les deux droites suivant lesquelles les deux plans tiingents coupent le plan cyclique pai-allèle au plan du cercle C qui forme la base du cône; ces droites sont parallèles aux traces des deux pL-ins tangents sur la Iwse, lesquelles sont les deux tangentes au cercle C. Or ces deux tangentes font des angles égaux avec leur corde de contact, et, par consé<iuent, avec le )jlan des deux arêies de contact qui passe par cette corde. Donc les quatre droites d'intersection des deux plans cycliques par les deux plans tangents font des angles égaux avec le plan des deux arêtes de contact, et, par con-

CÔNE A BASE ClRCULAIRli. 617

séquent, avec une perpendiculaire à ce plan. Donc elles sont quatre arêtes d'un cône de révolution autour de cette perpendiculaire, c. q, f, p.

811. Observation. — Ce théorème se peut déduire de celui tjui précède, et réciproquement, en vertu de cette proposition de Géométrie spliérique : On petit cercle étant tracé sur une sphère, si autour d'un point P de lu sphéi-e on fait tourner un arc de grand cercle qui te rencontre en deu.v points il, a', le produit tang^Pa.langiPa' reste constant.

Cela résulte immédiatement du théorème [709, coroll. ). Eu effet, d'apri'S ce théorème, si autour d'un point fixe p pris dans l'espace on fiiit tourner une transversale qui rencontre la sphère en deux points a, n', on a, en appelant 0 le centre de la sphère,

tarsJ,0«.lanslfOo- = coil!t.

Cai', soient deus transversales pa<i!', piS'; qu'on fasse tourner autour du diamètre pO le plan diamétral Opù, de manière que le cercle suivant lequel ce plan coupe la sphère se superpose sur le cercle contenu dans ie planOpd : les transversales se trouvant toutes deux dans le plan de ce cercle, l'équation a lieu (709, coroll.). Maintenant, que l'on observe que les deux cercles suivant lesquels les plans Opa, Opfi coupent hi sphèi'c se coupent en un point P situé sur le diamètre Op, et que les angles pOii, pOa' , . , , sont mesurés par les arcs Prt, P«', . . . , l'équation devient

Ungi P a . tang IP «' = tangiP b . tang ^ P b';

ce qui démontre le théorème.

On peut encore dii'e que : ii autour d'une droite fixe, menée par le sont' met d'un cène de révolution, on fait tourner un plan transversal qui coupe le cône suivant deuj: orales, le produit des tangentes des demi-angles que ces arêtes font avec la droite fî.re reste constante.

On suppose dans cet énoncé que le cône est formé d'une seule nappe répondant au petit cercle de la sphère, de sorte que les deux arêtes appartiennent à cette même nappe. Mais si, au lieu de l'une de ces arêtes, on prend son prolongement au delà du sommet du cône, le produit des tangentes des demi-angles se changera en un rapport.

812. La somme des angles que chaque plan tangent à un cane à hase circulaire fait avec les deux plans cycliques est constante.

Pour plus de facilité dans le raisonnement, considérons ce qui a lieu sur une sphère ayant son centre au sommet du cône. Une nappe du cône coupe