CHAPITRE XXXIV

la sphère suivant une courbe appelée ellipse ou conique spitériqae; les deux plans cycliques la coupent suivant deux grands cercles LAL', LBL' [fig. i83) <Iu'on appelle les arcs cycliques de la conique, et deux plans tangents au cône, suivant deux arcs de grands cercles ah, a'b\ tangents à la conique. Il fiut prouver que la somme des deux angles 'Lab, \.ba est égale à celle des deux angles ha'b', tb'a'.

Supposons les deux arcs ab, a'b' infiniment voisins; leur point d'intersection (' sera le point où l'un d'eux, a'b' par exemple, touche la conique, et par conséquent ce sera le point milieu de cet arc (808).

Cela posé, que l'on mène de a' en P, sur ab, un arc a'P égal â un quadrant, et que du point a' on abaisse l'arc a'a perpendiculaire sur ab. Le triangle infiniment petit aaa', rectangle en a, peut être considéré comme un triangle l'eciiligne ; par conséquent, son angle en a est le complément de l'angle en a' ou aa' a. Mais celui-ci est le complément de l'angle Lo'P, parce que l'angle Pa' a est droit. Donc l'angle en a est égal à l'angle La' P. Donc la différence des deux angles l.a'b' et Lai est l'angle ~Ea'i. Or on a dans le triangle Pa'i dont le côté n'P est égal à un quadrant,

tangPfi'i r= — Langrt'iP.coso'î,

ou, en remplaçant l'angle a' iV par son supplément a'ia,

[ang(L(7'è' — 'Lab] ^= tangaîa' .cosn'i.

Prenant de même l'arc b'P' égal à un quadrant, on aura

tangP'ft'; =: lang(L&(i — Lb'a'] = tangi^Ê'.cosi'/.

is seconds membres de ces deux

Mais nous avons dit que a'i ^ b'i\ donc li égalités sont égaux, et, par conséquent, on

[La'b'—Lab] ^ {Lbn — Lb'a'],

Lab^L Ija = La'h' -h Lb'f.

Autrement. Les quatic arêtes S«, Srt', Se, Si', suivant lesquelles les deux plans tangents au cône coupent les deux plans cycliques, sont sur un cône de révolution dont l'axe est perpendiculaire an plan des deux arêtes de contact (810)- Ces quatre arêtes rencontrent donc la sphère sur laquelle uous avons considéré l'ellipse sphérique en hnit points qui sont, qiiatre ii quatre, sur deux petits cercles parallèles à l'arc de grand cercle compris dans le plan des deux arêtes de contact.

Soient, sur la sphère [fig. i84)i ab et a'b' les deux arcs tangents à la conique, compris entre les deux arcs cycliques LA, LB; ce seront les deux

cdls'E A BASE CIBCULAIRE. 619

points a et b' et les deux «' et 6 opposés diame'tralement aux deux a' et b, qui serout tous quatre sur un petit cercle.

Considérons le quadiilatère aëb'a' inscrit dans le petit cercle. La différence de ses deux angles La' b' et L*'«' adjacents au côté a'i' est égale à celle des deux angles T. S« et L«ê adjacents au côté opposé «g.

En effet, les deux angles ma' b' et mh' à sont égaux, et, par conséquent,

La'// — Li'K'= L«'m — Li'm, <;t pareillement

LffS — LÊa = Lan — LGn.

Mais

Lên -t- Lb'm = iSo" et Lan -+- L«'ra = 180".

Donc, en ajoutant les deux équations membre à membre, on a

h'jJb' — L&'K+LflS — LÊa = o ou La h' ^ -Lb' a.' =,Lf,a — Laè.

Ce qu'il fallait prouvei'.

Maintenant, remplaçons dans cette équation les angles en «' et S par les angles en a' et b, qui leur sont égaux, respectivement, et les angles en a et b' par leurs suppléments, il vient

La'b' — iHo" ^Lb'a' =Lba — iQo'-^Lab, Lab-\-Lbii = La'b' +Lb'a' .

Autrement. Par un point m de la surface du cône, menons les plans des deux sections circulaires, lesquels se coupent suivant une droite passant pai' ce point et i-encontraiit le cône en un second point m'. La droite mm' est la corde commune aux deux sections circulaires comprises dans les deux l>lans. Soit i le milieu de cette corde ; le plan P mené par ce point, perpendiculairement à la corde, passe par les centres des deux sections circulaires et coupe leurs plans suivant deux diamètres de ces cercles, ab et a'b' [fig. i85]. Les perpendiculaires aux deux plans, menées par les centres des deux cercles, sont dans le plan P et se coupent en un point 0 qui est le centre d'une sphère passant par les deux cercles. La trace de cette sphère sur le plan P est un cercle dont ab et a'b' sont des cordes. Le plan tangent au cône, mené par le point m, contient les tangentes aux deux cercles en ce point et par conséquent est tangent à la sphère. II s'ensuit que la droite Om, rayon de la sphère, est perpendiculaire à ce plan. Donc les angles que ce plan fait avec les plans des sections circulaires sont égaux aux angles

s GEOUBTHIE SU PERI EUR IS.

tjue Sa droite O/n fait avec les deus droites On, 0«' perpendiculaires au: lieux cordes ab, a'b' . Ces angles soDt égaux aux deux èOn, a' On'. Mais

6 0 « = 1 arc bb'a et a' On' z: |m-c a'ab'.

^arcWfl-!-^nrca'«&':^nngleia'S-l-angle«'&S=-i8o"- S (').

813. Remarque. — Puisque la somme des deux angles Lab, "Lia [fis- i83) que chaque arc tangent à l'ellipse sphe'rifjue fait avec les deux arcs cycliques est constante, l'aire du ti-iangle Loh esl a,

Et réciproquement : Si un arc de grand cercle mobile faii arcs fixes uri triangle constamment de même surface, cet arc en ellipse sphérique dont les deux arcs ^^es sont les aies cycliques.