III. — Propriétés de deux cônes homocjcliqucs

814. Considérons deux cercles C, C (/?^. i86) qui ne se coupent pas; et soient e, /les deus points dont chacun a la même polaire dans les deux cercles. Que sur le segment ef, comme diamètre, on décrive le cercle E dans le plan pei-pendiculaîre au plan de la figure, et que l'on prenne un |>oint S sur ce cercle ; les deux cônes qui auront pour bases les deux cercles C, C' et pour sommet commun le point S auront les mêmes plans cycliques (806). Nous les appellerons c^/je« komocf cliques .

815. Quand deux canes de même sommet ont les mêmes plans cycliques, si an pian transversal mené par leur sommet les coupe suii'ont quatre arêtes, les deux arêtes de l'un font, respectivement, avec les deux arêtes de l'autre, deux angles égaux.

C) Cetla démonBlration fort simple esl empruntée dea Notes que M. Graves, professeur à J'Universilé de Dublin, a jointes à la traduction de mes Mémoires sur les canes du second degré et les coniques sphérigues, qui font partie du tome VI des Mémoires de l'Académie royale de Bruxelles (année iSag). Outre de nombreuses et intéressantes Notes et Additions, le savant géomètre a joint encore à cette traduction un Appendice spécial qui contient une géométrie analjtique des coniques sphériques, où se trouvent, notamment, les cercles osculateurs et les formules de lectilienlion et de quadrature de ces conrbes. ( Tivo geomttrical Memoirs on ilie gênerai properlies of concs o/ the second degree and on the spkerical conics, hy M. Chasles. Transtaced Jrom tke french, ivith Notes and Additions, and an Appendix on tite application of aaalysi's lo splicrical Géométrie, by the rev. Charles Graves, A. M., M. B. I. A. of Trinity collège, Dublin. Dublin, iS.^, in-8°.)

CÔNE A BASE CinCULAlHE. 521

Eu d'autres termes, l'angle formé par les deux arêtes de l'un des cônes il la même bissectrice t]ue l'angle forme par les deux arètea de l'autre

En effet, soient C, C les cercles qui forment les bases des deux cônes sur un plan parallèle à l'un de leurs plans cycliques, et aa' , bb' les cordes interceptées par ces cercles sur la droite d'intersection de ce plan par le plan coupant. Cette droite rencontre le cercle imaginaire t (800) en deux l)oints c, c ( iraaginaii'es ) ; et les trois couples de points a, a' ; b, h' et c, c sont en involution, puisque les tiois cercles ont le même axe radical ( 800 ) - Les deux points doubles de l'involution s et y sont conjugués harmoniques par rapport aux deux c et c', et, par conséquent, sont vus du point S sous un angle droit (793). 11 s'ensuit que les deux droites Se, S 51, qui divbent liarmoniquenient les deux angles «Sri', 6 S 6', senties bissectrices de ces angles et de leurs snppléments [84]. Par conséquent, l'angle des deux arêtes Sa, SSest égal à celui des deuxarêtes S«', S&'. c. q. f. d.

CoBOLLiiHE. — Si le plan coupant est tangent à l'un des cônes, le théorème prend cet énoncé ;

Quand deux cônes de même sommet ont les mêmes plans cycliques, si un plan tangent à l'un coupe l'autre suùunt deux, arêtes, l'arête de contact du premier cône est la bissectrice de l'angle formé par ces deux arêtes, ou la bissectrice du supplément de cet angle.

816. Les points de contact d'une tangente commune aux deux cercles G, C sont conjugués par rapport au cercle t(752, corort. ), et, par conséquent, sont vus du point S sous un angle droit (793). Donc,

Quand un plan est tangent à deax cônes homocycliques, les deux arêtes de contact sont rectangulaires.

817 Supposons qu'i d |1 <1 P

ine tri

msversale b b

Lipo d.'ux cercles G, C' [Jig. 177) 1 q les deux a, a' soient vus

1 S ifei )

d ux points b et b' seront

le menées pai- les deux cercle constamment le

I dm

1 passera par les poinls

pour le théorème (771).

5'ia TRAITE DE GEOMETBIE SUPËRIEVRE. — CHAPITIIE XXXIV.

Cette proposition exprime la propriété suivante de deux concs horaocycliques :

Quanti deux cônes de même sommet ont les mêmes plans rjcUques, si l'on prend sur leurs sur/aces deux arêtes rectangulaires,

1° Le plan de ces deux droites coupera les cânef. suivant deux autres arêtes qui seront aussi rectangulaires;

a" Les plans tangents au premier cône, menés par ses deux arêtes, rencantreront les plans tangents au second, menés par les deux arêtes de celuici, suivant quatre droites qui appartiertâivnt à un troisième cône homocyclique aux deux premiers, qui sera toujours le même, quelles que soient les deas. arêtes rectangulaires prises sur ces deux-là.

818. Considérons trois côaes homocycliques ayant pour bases les trois cercles C, C, C" [fig- 187), et un plan transvei-sal mené par leur sommet commun; soient Sa, Sn' les arêtes d'intersection du premier cône par ce pljiD, et Sni, Sn deux des arêtes d'intersection des deux autres cônes, respectivement ; 00 aui-ii l'cquation

sinmS«.sînmS«'

quelque soit le plan transversal.

En effet, concevons le cercle imaginaire a qui a pour centre la pjojection du point S, et pour carré de son rayon le rectangle -je.nf. Ce cercle a le même axe radical avec les trois C, C, C" (790) : par conséquent, «, u' étant ses points d'intersection par la droite aa' , on a

quelle que soit la transversale aa , le point '» apjiartenant toujours a cei-cleC (753).

ii'A (700).

mm%a.i\am%n

—r—, ^ const. <;. Q. r. t>,

Cette proposition peut s'énoncer ainsi ;,

Quand trais cônes sont homocjcUques, si l'on mène par leur .wmmet commun un pian transversal qui les coupe chacun suivant deux arêtes, le produit des sinus des angles que les arêtes du premier cène font avec une arête du second est au produit des sinus des ongles que les mêmes arêtes du premier eâne font avec une arête du troisième, dans une raison constante, quel que soit le plan coupant.

Observatios., — Ce théorème général donne lieu A plusieurs corollaires différents, à raison des diverses positions que peut prendre le plan transversal. On en conclut notamment l'expi-ession de la constante. Mais nous n'entrerons pas ici dans ces détails, et nous énoncerons seulement le corollaire suivant, dont nous aurons à faire immédiatement l'apiilicaiion :

CosoLLAiHE. — Si le plan coupant est tangent au premier cône, il s'ensuit que:

Quand trois cônes sont homocjcUques, si sur l'un on fuit rouler un plan tangent, le rapport îles sinus des deux angles que l'arête de contact fait, l'un avec l'une des arêtes d'intersection du deuxième cône, et l'autre avec l'une des atêies d'intersection du troisième cône, reste constant.

Remarque. — L'un des câaes peut être d'ouverture infiniment petite et se réduire, à la limite, à l'axe Se ou S/; de même qu'un des cercles, sur le plan, peut être infiniment petit, et devenir l'un des points e, f. Le théorème s'applique donc à un plan transversal tournant autour de l'axe Se ei l'encontrant deux cônes suivant deus arêtes. Le rapport des sinus des angles que ces deux arêtes font avec l'axe Se reste constant.

819. Quand deux cônes ont les mêmes plans cjcliques, deux plans tangents à l'un coupent Vautre suivant quatre arêtes situées sur un cône de révolution dont l'axe est perpendiculaire au plan des deux arêtes de contact sur leprem ier cône.

Soient ab, a'b' [fig. i88) les ti-aces des deus plans tangents, o le point d'intersection de ces doux droites, et c, c' leurs points de contact avec le cercle C. On a, d'après le corollaii-e qui précède,

sincSo sinc'So sinctjé "■ s\ac^ II' '

5^4 TnAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — (

Le rapjjort des sinus des angles que les deux droites So, Sb font avec

l'arête Se, savoir -. — —^ est égal au rapport des sinus des angles que les

deux mêmes droites font avec un plan quelconque P mené par cette arête.

Car celui-ci est égal au rapport des perpendiculaires abaissées des points o

, , ,. ■ - So , sincSn , ,

et b sur le plan, divise par ^; et le rapport -^ — ^ est égal au rapport

des perpendiculaires abaissées des p<)ints o, b sur la droite Se, divisé de

même par —.- ■ Mais le i-apport de ces deus perpendiculaires est égal an

rapport des deux premières. Donc, eic.

Le plan P mené par l'arête Se est quelconque : prenant pour ce plan celui

des deux arêtes Se, Se', nous dirons que -. ■■ - ■ ■ est égal au i-apport^des sinus

des angles que les deux droites So, Sb font avecle plan cSc'.

Pareillement, -; — ^-^7 est égal au rapport des sinus des angles que les

droitesSo, S 6' font avec le même plan cSc'. Donc les angles que les deux droites S6, Sb' font avec ce plan sont égaux. Mais ce qui est démontré pour le point b' s'entend du point a' ; et ce qui est démontré pour le point b a l'égard des deux a', b' s'entend du point a. Donc les quatre arêtes Sa, So', SA, St' font des angles égaux avec le plan cSc', et par conséquent aussi avec une perpendiculaire à ce plan. Donc ces droites sont les arêtes d'un côue de révolution autour de cette pei-pendiculaiie.

820. Quand deux ellipses sphériques, dont l'une enveloppe l'autre, ont les mêmes arcs cf cliques, le segment (juun aie de grand cei-cle tangent à la conique interne /orme dans la conique externe a toujours la même surface.

Il suffit de démontrer le théorème pour deux arcs tangents infiniment voisins. Soient ab, a'b' ces deux arcs [fig- 189}. Qu'on mène les arcs de grands cercles a'a, hb' qui se rencontrent en S. La somme des angles Sab, Sba est égale à celle des angles Sa'b', Sb'a' (812, 2* démonstration]. Par conséquent, les deux triangles Sah, Sa'b' ont même surface; et, par suite, les deux secteurs aia' et bib' ont aussi même surface. Donc, en ajoutant à ces deux secteurs la surface comprise entre l'arc de conique ab' et les deux arcs de grands cercles ia, ib', on en conclut que les deux segments soustendus dans l'ellipse externe par les deux arcs ab, a'b' ont la même surface.

Autrement. L'arc tib' rencontre l'arc ab au point i où celui-ci touche la conique enveloppe, et ce point est le milieu de l'arc ab (808) ; il s'ensuit

CÙSE A BASE CincULAlRE. 52J

que les deux triangles ««/, èSi, que l'on forme en décrivant du point /, comme centre sphéri que, les deux arc5o«, bS, sont égaus. Par conséquent, les deux secteurs infinimeat petits aia', bib' , qui ne diffèrent, respectiveluenE, des deux triangles que de quantités infiniment petites du second ordre, ne diffèrent aussi entre eux que d'une quantité infiniment petite de cet ordre. Donc les deux segments sous-tendus par les deux arcs «A, a'b' , dont la différence est égale à celle des deux secteurs, diffèrent tout au plus (l'une quantité infinimeot petite du second ordre, et, par conséquent, peuvent être considérés comme égaux.