IV. — Propriétés des lignes focales d'un câite

821. Nous avons vu qu'étant donnés un cercle réel C et un cercle imaginaire a [Jîg- 190). il existe deux points F, F' tels, que deux droites conjuguées par rapport au cercle réel, menées jiar l'un de ces points, sont conjuguées par rapport au cercle imaginaire (797). Ces deux droites seront donc vues du point S, correspondant au point a sotis un angle droit (793 ). On en conclut que ;

Dans un cône à base circulaire, il existe toujours deux droites, passant par le sommet du cane et comprises dans son intérieur, telles, que deux plans rectangulaires menés par l'une de ces diwies rencontrent le plan du cercle qui forme la base du cône, suivant deux droites conjuguées par rapport à ce cercle.

On appelle ces deux droites les lignes /o,rt/c,ï du cône.

L'une des deux droites conjuguées par rapport au cercle le rencontre en lieux points, et les tangentes en ces points se coupent sur la seconde droite ( 696 ) . Ces deux tangentes sont les traces de deux pkns tangents au cône. D'après cela, nous pouvons Jiie que ;

Les deux lignes focales d'an cône sont deux droites telles, que, si jjar l'une on mène deux plans rectangulaires quelconques, les plans tangents au cène suivant les deux arêtes situées dans l'un de ces plans se couperont sur l'autre plan.

822. Considérons deux tangentes fixes PA, PA et une tangente mobile art'. Les rayons menés du point F aux deux points a, a' forment deux divisions liomograpliiques dont les rayons doubles sont les tangentes au cercle, issues du point F (670). Deux droites conjuguées menées jiar le point F formeront aussi deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles

- CHAPITRE XSXIV.

seront les mêmes tangentes [699). Or ces deux di'oites conjuguces seront vues du point S sous un angle droit ( 793) . Donc, si l'on a deux autres faisceaux homographiques dont les rayons doubles soient les mêmes, l'angle de deux rayons homologues, vu du point S, jiaraîtra toujours de même grandeur [178). On a donc ce théorème :

Étant menés deux plans fixes tangents à un cône, si un troisième plan tangent roule sur le cône, ce plan coupe les dcu-t: plnns Jij^es suivant deux droites telles, que les plans menés par une ligne focale et ces deu-i: droile.i forment entre eu.i: un angle de grandeur constante.

823. /.es sinus des angles que les deux lignes focales d'un cane font

La trace d'un plan langent au cône est une tangente au cercle C [fig. 191 ) ; le produit des distances de cette tangente aus deux points F, F' est au produit de ses distances aus deux tangentes parallèles menées au cercle c dans une raison constante, quelle que soit la direction commune de ces tangentes [746). Ce produit est égal à ^r;?' + So-'— ;rS" [790).

Ainsi l'on a

Désignons [yxi-Fp, F'/'' les perpendiculaires abaissées des points F, F' sur le plan mené par le point S et la tangente, et soit i l'inclinaison de ce plan sur le plan de la ligure ; on a

l>=.l.-<..sin F/..Fy.

Dune, à cause de la relation précédente, le produit ¥p.¥' p' est constant.

SSi. Étant menés deu.v plans tangents à un cône, si parleur droite d'intersection on mène deux plans passant par les deux lignes focales, l'angle dièdre formé par ces deux plans et l'angle des deux plans tangents ont le même plan bissecirur.

CÔNE À BASE ClItClILAinE. 5^7

Kn d'autres termes, tes deux plans tangents font, vespectiv ornent, avec les deux plans menés par les lifjTies focales, des angles égaux.

En effet, si par un point P [fig. 190) on mène des tangentes au cercle C et au cerele imaginaire 0-, et deux droites aux poinisF, F' qui représentent les sommets opposés du quadrilatère circonscrit aux deux cercles, ces six droites sont en involution (745). Par conséquent, les plans menés par ces droites et le sommet du cône forment trois angles dièdres en involution. Il existe donc deux plans conjugués harmoniques, par rapport aux deux faces de chacun de ces trois angles dièdres [ 2S1 ) . Or, les traces de ces deux plans sur le plan de la figure étant deux droites conjuguées par rapport au cercle rs, ces plans sont rectangulaires (793). Donc ce sont les pl;ms bissecteurs des angles dièdres formés, l'un par les deux plans tangents au cône, et l'autre par les deux plans passant par les lignes focales, c. q. p. u.

Corollaire. — Si la droite par laquelle sont menés les phms tangents s'approche indéfiniment de la surface du cône, on en conclut que :

Les plans menés par une arête d'un cône et les ileux lignes focales îont également inclinés sur le plan tangent au cône mené par cette aréle,

825. Que par le point F [fig. 192 ) on mène deux cordes aa' , hb' , et à leurs exti-émités les tangentes au cercle, lesquelles forment le quadrilatère circonscrit cdc'â . Les deux diagonales £</, dd! passent par le point F, intersection des deux cordes aa' , hb' (701) et sont deux droites conjuguées par rapport au cercle C (703, Rem. ), et par conséquent par rapport au cercle imaginaire o- (821 ). Donc ces deux droites, vues du point S, paraissent rectangulaires ( 793 ) . Mais elles sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux coi'des Fa, Ffi; car les deux cordes ah' , a'b se croisent sur la diagonale ce', enunpointA qui est le pôle de l'autre diagonale t^rf' (C86), de sorte que ce point h et le point i, où la corde a'b rencontre la diagonale dd' , sont conjugués harmoniques par rapport aux deux «' et 6 ; et par conséquent les deiix droites FA, Yd' sont conjuguées harmoniques par rap- |>ort aux deux Fi, F«'.

On a donc ce théorème :

Si par une ligne focale d'un cône à base circulaire on mène deux plans passant par deux arêtes du cane et un troisième pian passant par la droite d'intersection des plans tangents au cône suivant les deux arêtes, celui-ci sera bîssectearde l'angle dièdre formé par les deux premiers.

826. Étant prises deux arêtes sur an cône, si par chacune d'elles on mène deux plans passant par les deux lignes focales, les quatre plans seront tan-

5'i8 TRALTiî DE géométhie scPiiiiiErRE. — chapitre xxxiv,

g<:iits à un cône de lévolulioii dont l'axe sera la droite d'intersection des

plans tangents nu cône suivant les deux arêtes.

En effet, soient Fa, F'ietFA, F'ô [fig. rga) les traces des quatre plans sur In base du cône; «c, be les traces des deux plans tangents. Le jtlanSFcest bissecteur de l'angle des deux plans SF<ï, SFi(825); donc la droite Se est également inclinée sur ces deux plans. Par une raison semblable, elle est également inclinée sur les deux plans SF'a, SF'A. Mais cette droite, étant située dans le plan tangent S ac, est également inclinée sur les deux plans SFo, SF' a (824, co/oW.]; donc enfin elle est également inclinée sur les quatre plans SFo, S¥b, S¥'a, SS'b. Donc elle est l'axe d'un cône de révolution tangent à ces quatre plans.

827. La somme des angles que chaque arélc d'un cône à base circulaire fait avec les deux lignes focales est constante.

C'est-îi-dire que l'on a [fig. rgs)

FSa-HF'Sii = FSÈ + F'S6.

En effet, nous venons de voir que les quatre plaus SF«, SF b, SF'a, SF'i sont Uni gents à un cône do révolution. Soient S«, S fi, Sk', S S' les quatre arêtes de contact; on a

FS s = FS g ou FSfl + « S -^ = FS /.■ — È S fi,

Ajoutant II

on obtient l'égalité qu'il s'agit de démontrer.

autrement. Considérons une conique sphéritjue comme précédemment (820); soient F, F' [fig- 19^) sur la sphère les deux points déterminés par les deux lignes focales du cône, points que l'on appelle \e&fojeii: de la conique. Il s'agit de prouver que la somme des deux arcs Ya, F'a est constante. Pour cela, considérons le pointa' de la courbe infiniment voisin du point a; D suffit de prouver l'égalité à l'égard des deux points a et a' , c'est-à-dire que l'on a

F a -\- F' « = F a' -F Va' ou Fii' — F« = F' « — F'rt'.

Que du point a on abaisse les arcs an, a-/! perpendiculaires sur les arcs

F'Sa-«S«' = F'S6 + ;,SS'.

i membre ces deux équations et

observant qne

:S« = ûS«' et iSe^iSS'

Sao

Il faut donc prouver que a.ii' = a' a' . Or les deux triangles r a a a' infiniment petits peuvent être considérés comme des lignes, et l'on a

mgles recti-

(82fp, corolL], Donc ««'-= a'a .