V. — Celles suppléi

828. Si par le sommet d'un cône à base circulaire on mène des normales à ses plans tangents,

1° Ces droites forment un second cône à base circulaire, dont les plans tangents snnt perpendiculaires aux arêtes du premier;

Et 2" Les lignes focales et les plans cycliques de ce cône sont perpendiculaires, respectivement, aux plans cycliques et au^ (ignés focales du premier.

Les plans tangents a« second cône sont les pkns normaux aux arêtes du [iremier; cela est évident, car un plan tangent sera le plan de deux arêtes infiniment voisines. Or ces arêtes sont les normales à deux plans tangents au premier cône, infiniment voisins; donc leur plan est perpendiculaire k la droite d'intersection de ces deux plans tangents, laquelle est une arête du premier cône. Ce qu'il fallait démontrer.

Prouvons maintenant que le nouveau cône a un cercle pour base sur un plan perpendiculaire à l'une des lignes focales du premier.

Concevons deux plans fixes tangents au cône proposé ; un troisième plan langent les coupe suivant deux droites, et les plans menés par ces droites et une ligne focale font entre eux un angle de grandeur constante (822). ïl s'ensuit, on considérant dans le second cône les droites perpendiculaires à ces plans, que, si autour de deux arêtes fixes de ce cône on fait tourner deux [ilans qui se coupent suivant une troisième arête, les ti'aces de ces deuK plans sur un plan perpendiculaire à la ligne focale feront entre elles un angle de grandeur constante. Le point de concours de ces deux di'oitcs décrit donc un cercle. Or ce point décrit la courbe qui forme la base du cône sur le plan ; donc celte base est un cercle. Ce qu'il fallait prouver.

Enfin, les lignes focales du nouveau cône sont les perpendiculaires aux plans cycliques du premier. Cela résulte de ce qui vient d'être démontré, en

yGoosle

53o TRAITE DE GÉOMÉTKIE SUPÉBIEUKE. — CHAPITRE XXXIV.

vertu de la réciprocité de construction qui a lieu entre les deux cônes. Car, puisque le second est à base circulaire, le premier a ses plans cycliques per- |>endiculaires aux lignes focales du second. Ainsi !e théorème est démontré complètement.

829. Les deux cônes, dont chacun a ses arêtes perpendiculaii-es aux plans tangents A l'autre, sont dits cônes supplémentaires.

Toutes les propriéte's d'un cône relatives aux plans cycliques et aux lignes focales donnent lieu, dans le cône supplémentaire, à des proprie'tés relatives, respectivement, aux lignes focales et aux plans cj'cliques.

De sorte que toutes les propriétés des cônes à base circulaire sont doubles : à chaque propriété des plans cycliques correspond une propriété des lignes focales, et réciproquement.

Par exemple, le théorème (819 ) donne lieu au suivant :

Quand deux cènes ont les mêmes lignes focales, si par deux arêtes de l'un on mène des plans tangents à l'autre, ces quatre plans sont tangents n un cône de révolution dont l'axe est la droite d'intersection des plam tangents au premier cône menés par ses deux arêtes.

Et si l'on considère ce qui a lieu sur la sphère, on dira que :

Quand deux coniques sphériques sont homofocales, si lie deux points de ■ l'une on mène quatre arcs de grands cercles tangents à l'autre, ces quatre arcs sont tangents à un petit cercle dont le centre sphèriqne est à l'intersection des arcs tangents à la première conique en ses deux points ( ' ).