V AU

Cette éi:|uation exprime que la corde mm', déterminée par les deux angles y, f' dans le cercle C, est tangente, dans toutes ses positions, à un second cercle dont l'axe radical avec le proposé est à la distance AO, et qui touche la corde AH sous-tendue par l'angle [t.

Obsebvatjo'. — DiUis rpcjuation [5), le rapport —— comporte un signe,

lequel est + ou ^, selon que le centre du cercle D se trouve dans l'intoi'ieur du cercle G ou au dehors; de sorte que l'équation se suffit à ellemême pour exprimer complètement la relation qui convient à une figure donnée. Mais il n'en est pas de même de l'équation (6); le radical par

lequel le rapport -t-jt- se trouve remplacé ne peut point indiquer le signe du

second terme de l'équation. 11 faut donc se rappeler que ce signe sera -twu — , selon que le centre du cercle D se trouvera sur le diamètre AA ou sur son prolongement.

83C. Quand on considère la corde mm' dans deux positions infinimcn!

„ . AA'

voisines, on a, en faisant ~- = c\

V'i — c^sin^iï \ji — c'-sin^y

le signe étant -\- ou — , selon que le centre D est sur le diamètre AA' ou sur

En efiet, soient mm\ nu' [fig. ig8) deux cordes infiniment voisines, langentes au cercle D, et / leur point d'intersection qui forme le point de

SLR I.liS FONCTIONS ELLIPTIQUES.

contact de la iiieniière avec ce cercle; on a

^1 — c* sin'iy df

Cû qu'il fiilloit démontrer.

Quant aux signes, il est facile de voir que, ([uanil le cercle D est dans l'intérieur du cercle C, les deux cordes infiniment voisines se coupent dans l'inlérieiir de ce cercle, et que les deux arcs km, Am' sont tous deux plus grands ou plus petits que les deux arcs déterminés par la corde infiniment voisine, c'est-à-dire qu'alors les deux arcs élémentaires t/o, df' ont le même signe. Quand, au contraire, le cercle D est extérieur au cercle C, les deux cordes se coupent au dehors de celui-ci, et alors ilw, d^' ont des signes dif-

837. Obsebvatioti. — On peut dire que les deux équations [6j et {7) sont la conséquence l'une de l'autre, puisqu'elles expriment une même hy- |>othèse, savoir, que la corde mm' du cercle C roule sur un autre cercle; et, en effet, on trouve, en Analyse, que la première équation est l'intégrale de la seconde; l'angle fi y représente la constante arbitraire. Ces formules sont fondamentales dans la théorie des fonctions elliptiques.

m. — Julie mode de représentation, dans le cercle, des équalio'is relatifes aux fonctions elliptiques.

838. Lemme. — Étant donnés deux cercles CiD [Jîg. \^), et étant pris sur la ligne des centres le point F qui a la même polaire dans les deu.K ceixles, si autour de ce point on fait tourner ta corde ii' dans le cercle D, el que par son extrémité i on mène la tangente à ce cercle, laquelle ren-

54o TRVITÉ DE GÉOHÉTfllE SUPÉRIEURE. ~ CHAPITBB XXXÏ.

contre le cercle Cen m, le rapport entre la corde \\! el le sinua de l'angle iF m

leste constant.

En effet, on a ^ — ^ const. (734!, et, iwr conseouent,

s'miFm

. .. . — = const.

smt un

Oi-, dans le cercle D,

r étant le rayon du cercle. Donc

siiiïf m ^ ■ — X consi. on — ..— - =- const.

Cette [U'opositioR se transforme en une relation entre les deux angles mFA, m' FA de même forme que celle qui a lieu entre les deux arcs yAm, jAm', ou ^f, ^f' (équat. G].

Nous conclurons d'abord de la proposition le théorème suivant :

839. L'angle que la corde Fi fait avec la ligne des centres des deux cercles étant représenté par ^, et l'angle iF m par 6, il existe enti-e ces deux angles la relation

dans laquelle e l'epiescnle le segment DF compris entre le point F et le centre du cercleU sitrleqiiel roule la tangente im.

Cette relation n'est autre que celle du lemme, dans laquelle on remplace la corde ii' par son expression en fonction de l'angle 'f. En effet, appelant De la perpendiculaire abaisse'e du centre du cercle D sur la corde ((', on a

7^^=/' — D3^ = /2 — DF".sin-J,

L'équation du lemme devient donc