CHAPITRE IV

Ll'PORT lIARaONlQUE DE QUATRE FOIMS OU D (J DE QUATRE DROITES.

§ I. ~ Rapport harmonique de quatre points.

58. Quand deux points a, a' [fig. y) divisent un segmenl (?/ en parties proportionnelles, c'est-à-dire leUes, cjue l'on ait (abstraction faite des signes des segments)

on dit que les deux, points n, a' divisent ha/-inoniquemeiit le segmente/', oubien qu'ils sonl conjugués harmonù/ucs Y)ar rapport aux deux points e, f. Réciproquement, ceux-ci sont conjugués harmoniques par rapport aux deux a, a' et divisent harinonitjuement le segment aa'. On dit encore que les quatre points sont en rapport harmonique.

Il nous sera quelquefois utile, pour faciliter le langage, de dire que les deux segments an', ef sont conjugués harmoniques.

59. L'expression rapport hai'monique, appliquée au système des quatre points, vient de ce que les trois segments comptés de l'un de ces points et terminés aux trois autres sont en proportion harmonique.

On appelle ainsi une proportion géométrique formée avec trois nombres tels, que le i"' est au 3' comme le i" moins le a' osl au 2* moins le 3*. Par exemple, les trois nombres 6, 3 et a sont

en proportion harmonique, parce que ~ = ^— — (' ). Celte rela-

38 TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉniEURE. — CHAPITRE IV.

lion de trois nombres, donl deux sont arbitraires, a reçu des Grei le nom de proportion fiannomt/ue, parce qu'elle se présentait dai leur théorie des Ions musicaux.

sont tels, avons-nous dit, que les trois segments, comptés de l'un d'eux, sont en proportion hai-inonii/ue. En effet, considérons les trois segments comptés du point a, af, aa' et ae, et remplaçons, dans l'équation, a'f par [af — aa') et n'e par {aaf — ae), en ne considérant que les valeurs absolues des segments; on a af af~oa i" segment \" — i'

ce qui est la proportion harmonique.

Dans l'énuméralion des trois segments, il Tant regarder comme le deuxième celui qui joint deux points conjugués.

(30. On a coutume d'exprimer la relation harmonique de quatre

points par l'équation — .^ -yj. > où l'on ne considère que la valeur

absolue des segments sans y faire entrer les signes relatifs à leurs directions, parce qu'en opérant sur cette équation, soit pour la transformer, soit pour la combiner avec d'autres, on a la figure sous les yeux, et que l'on opère d'une manière concrète, en tenant compte de la position relative des points. Nous devons, pour donner à l'équation sa signification générale, ainsi qu'à toutes celles que nous allons en déduire, lui restituer le signe qui lui convient. Nous écrirons donc désormais

ment. Ainsi 3 surpasse 2 de i qui est moilié de 3, et 3 est surpassé par 6 do U qui est moîiié de 6.

Ces défiaitiODs sont rapportées pur Pappus au commencement du Livre 111 de ses Colltclioit! malhémaiigiies. Après avoir défini tes proportions arichiaèiique et géométrique, il ajoute : • Harmonica autoni medietas est, quundo médius terminus eadcm parte et superat unnni eitremomm, et a reliquo superatur; ut habet 3 ad s et ad 6, Tel quando sit ut primus terminus ad tcrilum, ita piimus eïcessus ad accundara, nt liabent 6, 3, ■). « Pappua construit les trois proportions dans to cercle par une mfme ligure et résout diverses quesUons dont plusieurs concernent la proportion

l.VPPORT HARMONIQl'l!

,.faf-

Le premier membre exprime le rapport anliarmonique des quatre points a, n', e,f. On peut donc dire que :

Quatre points sont en proportion harmonique fjuand leur rapport anharmonicfue est égal à — i .

Nous avons yu (12) que le rapport anharmonique de quatre points distincts ne peut pas être égal à -H t .

6t. Le point iï' étant sur le segment ef, et ic point a au delà, dans !e sens/è, comme l'indique la figure, le point «' est plus près du point e que du pointy, car on a entre les valeurs numériques

des segments — -^ --.■ Or ne <^ af; donc a'e <| a'f.

Quand le point a s'éloigne du point e, le point a' s'en éloigne aussi, mais beaucoup plus lentement, tellement que, quand le

a aussi — . =; i, ce qui montre que le point a' se trouve au milieu de ef. De là résultent ces deux propositions :

i" Quand quatre points sont en rapport harmonif/ue, le point milieu de deux points conjugués est toujours situé au delà du segment compris entre les deux autres points conjugués.

11° Si l'un des quatre points est à l'infini, son conjugué est le point milieu des deux autres.

62. Soient h, h' [fig- 8) deux points conjugués, de même que a et d, par rapport aux deux e,f. Si le point h' , situé sur le segment ef, est plus près de e que n', le point h sera aussi plus près de e que le point «, de sorte que le segment hV sera compris tout entier sur le segment acé . Si un point c' est pris vers le point y, son conjugué c sera au delà de ce point, et les deux segments aa', c(/ n'auront aucune partie commune. Ainsi :

Quand deux segments sont conjugués harmoni{jues par nippon à un troisième, il ne peut arriver que deux cas : ou qu'ils

4o TRAITE DE GEOMETRIE SUPERIEURE. -

n aient aucune partie commune, ou que l'un d'eux soit compris entièrement sur l'autre.

63. Il suit de là que : Quand deux segments empiètent en partie l'un sur l'autre, on ne peut pas déterminer deux points fjid les divisent harmoniquement l'un et l'autre.

Nous dirons que les deux points qui les divisent harmonîquement sont imaginaires, parce que l'équalion qui sert à déterminer en général ces deux points a, dans ce cas, ses racines imaginaires, comme nous le verrons plus loin (Chap. V).

g IL — Manières diverses d'exprimer que quatre points sont en rapport harmonique.

64. Nous avons vu que quatre points ont trois rapports anliarmoniques différents, dont un suffit pour déterminer les deux

Chacune de ces équations exprime donc que les quatre points sont en rappoi't harmonique.

65. L'expression du rapport anharnionique de quatre points, où entrent les distances d'un point aux trois autres (36), donne l'équation

= ,«/.rf.

= .,^e.fi,'.

On a pareillement