Le rapport liannonique s'exprime encore par l'équation

(8') me.mf.aa'-i-ma.a'O+i»^' .0« = o.

On peut démontrer ces équations, la première par exemple, par le raisonnement suivant. Si l'équation n'est pas identique quel qiie soit le point m, elle servira à déterminer les positions de ce point qui y satisfont, et il n'y aura que deux positions, car, en rapportant tous les points m, a, ... à une origine commune A, le segment Am entrera dans l'équation du second degi-é. Or l'équation est satisfaite pour plus de deux positions du point m, car, si l'on fait coïncider ce point successivement avec les points a, a', e, /, on trouve des relations déjà démontrées, et si on le suppose à l'infini on a l'identité «f-h/oL -^ce = o. L'équation du deuxième degré d'où dépendraient les positions du point m aurait donc plus de deux racines, ce qui prouve qu'elle est identique, c'est-àdire que l'équation (S) a lieu pour toutes les positions du point m.

.autrement. On a la relation (y)

et les deux identités

™Vm..™/=ï«..mO, ^/ + me.„f=^m/.mO.

Mulliplianl ces trois équations, respectivement, par ef^fa el a<?, et les ajoutant membre à membre, il vient

ma.ma'.ef+ TiTc .f^ + 'ii^f.^.e -^ me .n,f{ef + f^y.^- «e)

Or on a, entre les trois points a, e,f,

<./ + A+..:-=o (2), et entre les quatre tu, a, e, f,

il reste donc

72. Remplaçonsys! dans cotte éijuation par (//; — a <? ) ; il vient „m.„u,' .cf^^'iTc' .fe ~ [~,' -^f),,e = «. on, parce que me —mf = (mc + mf) (tiw^ mf) = aniO./i), (g) ,».,„r/-™+.«..,»0=o.

En supposant que le point m coïncide avec a, on a

g IV. — Corollaires de l'équation (7). — Relations où entrent les points milieux des deux segments a(i\ ef.

73. Supposons, dans l'équalion (7), que le point m coïncide ivec a; il vient

{') INoiiB donnarons, dans la théorie de l'involulion. une autre démonatration, apj>liqiiée 'a un thoopème pins général relatif à six points en inyolutioa, dont l'équation actuelle n'est qu'un cns particulier.

H.VrPOHT ll.VBMOMQllE DB QUATBE PUIMS. 45

Pareillement,

[lo') ô'e = 0a.0a'.

Cette équation donne

ou Lien, entre les quatre points a, a', e,J,