Si le point m coïncide avec le point <?, on a

or 2.e0 -=:ef : donc

ef est la moyenne harmonique des distances des deux poinls a, a' au point e (66), et ea est ce qu'on appelle la moyenne distance de ces deuxpoinls au même point e; l'équation exprime donc que ;

Le produit des distances de deux points à une origine commune. prise sur la même droite, est égal au produit de la moyenne harmonique et de la moyenne distance de ces deux points relatives à l'origine.

Cette relation nous sera souvent utile. On a de même, en supposant que le point jn coïncide sueccssivement avec a et a',

a'e.a'f=a-a.a'0, et, en ajoutant membre à membre, (,3') a..rf+^-e.ar=^'.

fjQ TRAITE DE GEOMETRIE SUPÉRIEURE. — dlAPITIIE IV.

75. L'équalion (i3), divisée membre à membre pai qui e;sprime le même ihéorème, donne

et, à cause de l'équation (i),

pareillemeii t

On peut encore écrire, à cause del'équation (lo),

g V, — Belations où entrent deux points arbitraires. 77. L'équation [6) s'écrit

oii, en désignant par n le point à l'infini,

RAPPORT HARIIOKIQIIE DE QUATRE POINTS. Iq

Il n'entre dans cette équalion que des rapports anharmoniqucs ; par conséquent, elle a lieu quel que soit le point n (20). Multiplions par mf.ea.na', il vient

(i8) ma,nf.a'e-^~ma'.ne.af-\-me.na.fa'+mf.na'.ea=o.

Dans cette relation entre quatre points en rapport harmonique a, a' , e,f et deux points arbitraires m, n, ces deux points entrent de la même manière.