L'équation (8) prend la forme

ma.ma' ef ^ '^e f ^ ^^^ ^' '^" ^' '■■^ OH, en désignant par n le point situé à Finfini,

L'équation ne contenant que des rapports anliarmonlques, on y peutsupposer le point n quelconque, pourvu que a n'y représente plus le point milieu du segment ad, mais bien le conjugué harmonique du point n par rapport aux deux «, «'. L'équation de-

"«■'"^ ne nf

Si le point m est à l'infini, il \ient

On simplifiera ces deux équations en y remplaçant a, désignant le point milieu du segment aa' (74).

RVPPOHT IIARMONIOVE DE QUATRE POINTS. ^f)

80. Observation. —- On peut introduire un point arbitraire n dans les équations (lo, . . . i5), par des considérations semblables à celles dont nous venons de faire usage. On aura ainsi de nouvelles relations à deux termes, pour exprimer que deux couples de point» a, d et e, y sont en rapport harmonique.' Les points milieux « et O des deux segments aa' , ef deviennent dans ces relations, de même que dans l'équation (19), les conjugués harmoniques du pointnparrapport aux deux segments. Nous n'entrerons pas dans ces détails , parce que les formules que l'on obtient ainsi expriment des propriétés relatives aux deux points qui divisent harmonique ment deux segments à la fois. Ces propriétés reviendront plus tard comme conséquences naturelles de la théorie de Tinvolulion de six points.

g VI. — Connaissant, dans une proportion harmoniqnie, deux points conjugués et le milieu des deux autres, trouver ceux-ci.

81, Les deux points conjugués «, a' sont connus, ainsi que le milieu O des deux e, f. Ceux-ci se déterminent par la relation

Oe = - 0/z= zb v'OnTô^. ( 10' )

Il faut, pour que cette expression soit réelle, que le milieu O des deux points cherchés soit au dehors du segment aa' ; s'il était sur le segment lui-même, le produit Oa.Qa' serait négatif, et l'expression de Oe imaginaire. On dit alors que les deux points conjugués cherchés sont imaginaires.

JNous reviendrons, dans le Chapiire suivant, sur cette notion de points imaginaires, qui demande quelques développements. Toutefois, il faut ajouter ici que, si les deux points donnés a, a' étaient eux-mêmes imaginaires, les deux points cherchés e,y seraient nécessairement réels, parce que dans ce cas le produit O a. O a' serait positif, ainsi que nous le verrons plus loin (93).

L'expression de Oeae change en celle-ci,

Oe= -0/=d: v/ok'- «</,

a. étant ie milieu du segment an' ( -i).

CiiAaLES. — Geom. shjj.

50 TnAITB DE GEOMETItlE SUPEniEl'RË, — EIIACITIIE IV.