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ou, en miillipliant el divisant par (\/rtO zjz ^n'O)-,

g vil. — Faisceau de quatre droites en rapport harmonique.

83. Quanti quatre droites A, A', E, F, concourantes en un même point, ont leur rapport anharmonique égal à — i , de sorte f|uc l'on ait

sm[A,E] . sin|A\Ej sin(A,Fi ■ sin(A',l')~ ''

on dit que ces quatre droites forment un Jaisceau harmonique. On dit aussi que les deux droites E, Y sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux A, A' ou bien qu'elles diinsentharmoniquement l'angle des deux droites A, A', et, réciproquement, que ces deux-ci sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux autres, ou bien qu'elles divisent liarmoniquement l'angle de ces deux-là. Ces quatre droites rencontrent une transversale quelconque en quatre points a, a', e,/qul sont en rapport harmonique; car on a

84. Si la transversale est parallèle à l'une des droites, à îa droite A' par exemple, le point a' sera à l'infini, et l'on aura simplement

par conséquent, le point a est le milieu du segment of.

RAPPORT HABMONIOUB DE QUATRE DROITES. 5l

Cela prouve que, si les deux droites A, A' sont rectangulaires, les deux E, F font des angles égaux avec l'une d'elles, c'esl-à-dire que :

Quand deux droites conjuguées harmoniques par rapport à deux autres sont rectangulaires, l'une d'elles est la bissectrice de l'angle formé par ces deux-ci.

Et réciproquement : La bissectrice d'un angle et sa perpendiculaire divisent harinonitfuement cet angle.