CHAPITRE VI

THÉORIE EE LA UlVISlOJi IIOMOGHAPHIQUE,

g I. — Divisions homo graphique s de denx droites. Faisceaux homograpbiques.

103. Défihitions. - — Quand deux droites sont divisées en des points qui se correspondent un à un et tellement que le rapport anliarmonique de quatre points quelconques de l'une soit égal au rapport anliarmonique des quatre points correspondants de l'autre, nous dirons que ces deux droites sont divisées honiographiquement ou bien que leurs points de division forment deux divisions hoinographii/ues.

JVous verrons qu'il j a beaucoup de manières de former des divisions homographiques.

Quand deux faisceaux dont les droites se correspondent une à une sont tels que quatre droites quelconques du premier aient leur rapport anliarmonique égal à celui des quatre droites correspondantes du second, nous dirons que les deux faisceaux sont homographiqites.

Nous verrons plus tard, en traitant de la théorie générale des figures komograpliiques, la raison et le sens propre de cette expression (Chap. XXV). Bornons-nous à dire, pour le moment, que cette notion des divisions et des faisceaux homograpkiques nous sera d'un très-utile et très-fréquent usage dans la géométrie des figures rectilignes et dans celle des sections coniques.

lOi. CoKSTIirCTIOS DE DEUX DIVCSIOINS oc DE DEDX J'AISCE^rx HO"

MOGRAPHiQUEs. — Une droite L étant divisée en des points a, h, c, d, . . ., si l'on veut diviser homograpliiquement une seconde droite L', on pourra prendre arbitrairement sur ccllc-ci trois

iioMocRApmouiî. C5

points «', b' , c' poar correspondre, un à un, aux Lrois points a, h,c\ puis on déterminera les points d' , e', . . ,, qui correspondront aux autres points d, e, , . . de la première droite, par la condition que le rapport anharmonique des points «', i', c' et un quatrième d' soit égal à celui des quatre points a, b, c, d, c'està-dire par une équation telle que

fib i//> ah' irh'

Je dis que les points d' , e', . . ., déterminés ainsi, diviseront la seconde droite homo graphiquement par rapport à la première, c'està-dire que le rapport anharmonique de quatre points quelconques (/', e' , . . . sera égal à celui des quatre points d, e, . . . de la première droite.

En effet, qu'on transporte la droite a'b', de manière à faire coïncider le point a' avec le point a, la droite a'b' faisant avec ab un angle quelconque; les deux droites bb', ce' concourront en un point S, et chacune des droites dd' , ce', ... passera par ce point (^2). Il s'ensuit que quatre quelconques des points n, b, c, <f, e, y, . . . ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points correspondants a', V, c', d', e', f, . . . (14) , et, par conséquent, les deux droites sont divisées hojno graphiquement.

Autrement. On détermine, par hypothèse, les points d', e', f , . . . par les équations

ah dh ^ (Vh^

Divisant membre à membre les deux premières, pour éliminer les points a cl a' , on a

Jh eh d'I/ ^ e'b'

Cette équation prouve que les quatre points è, c, d, e ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points V , c , d', e'. Pareillement, les deux systèmes de quatre points b, c, d,J'ct b', c', d.',/' ont leurs rapports anharmoniques égaux.

Chaslzb. — Gcom. sup. 5

ï DE GKOWKTHIE SUPERIEIRI

Ainsi f et y l'orment une <5galilé de rapports anliarmoiiiques avec h, c, d et b', c', d', de même que e et e'. Donc, par ce qui vient d'être démontré à l'égard des points d, e et d', e', on conclut que c, d, e,/ ont leur rapport anharmonique' égal à celui de c', d', e'.f.

11 en est de même des deux systèmes c, d, e, g et c', d', e', g'. Donc, les deux systèmes (/, e, y, g et d', e', f, g' ont leurs rapports an harmonique s égaux.

Pareillement, les deux systèmes d, e, f, A et d', e', f , h' onl leurs rapports anharmoniques égaux, et l'on en conclut que les deux systèmes e,f, g, h et e', f , g*, h' ont aussi leurs rapports anharmoniques égauus.

Il est donc prouvé que quatre points quelconques de la première droite ont leur rapport anharmonique égal à celui de quatre points correspondants sur la seconde droite.

105. Étant donné un faisceau de droites A, B, C, D, . . . , si l'on veut former un second faisceau homographique, on pourra prendre arbitrairement trois droites A', B', C de ce faisceau, pour c pondre respectivement aux trois A, B, C; puis on déten une quatrième droite D', correspondant à une droite quelconque D du premier faisceau, par la condition que le rapport anharmonique des quatre droites A', B', C, D' soit égal à celui des quatre A, B, C, D.

On démontrera directement, par les mêmes raisonnements que pour la division homographique de deux droites, que les deux faisceaux sonthomographiques. On peut aussi dire que, si l'on coupe les deux faisceaux par deux transversales, les points d'intersection formeront sur ces deux droites deux divisions qui, d'après ce qui vient d'être démontré, seront homographiques, d'ofi il suit que les deux faisceaux eux-mêmes sont homographiques.

406. Quand deux divisions sur deux droites sont homographiques à une troisième, elles sont homographiques entre elles.

En effet, quatre points a", b", c", d" de la troisième division ont leur rapport anharmonique égal, d'une part, à celui des quatre points correspondants fl, b, c, d de la première division, et, d'autre part, à celui des quatre points correspondants a', b' , c', d' de la

DIVISION UOMOGBAI'HIQLE. 67

deuxième division. Donc, les deux séries de quatre points a, b, c, d et a' , b', c', d' ont leurs rapports anliarmonîques égaux, et, par conséquent, la première et la seconde division sont homographiqucs. c. Q. F. D,

Il suit de là que, si plusieurs divisions prises consécutivement sont homographiques deux à deux, deux quelconques de ces divisions sonlhomographiques entre elles.

Il est évident que ce que nous disons des divisions homographiques doit s'entendre aussi des faisceaux homographiques.

Ces propositions auront de nombreuses applications, notamment dans le Chapitre XV, où nous résoudrons par une même construction un grand nombre de questions diverses.

g IL — Propriétés géométriques de deux droites divisées homographiquemenl, et de deux faisceaux homographiques.

107. Quand des droites issues d'an même point, rencontrent deux droites fixes i/uelcont/ues, elles forment sur celles-ci deux divisions homographiifues.

Soient des droites issues d'un point p [Jig. 12) et rencontrant deux droites fixes SL, SL' en des points a, a', b, V, c, c', . . .; ces points divisent les deux droites SL, SL' homographiquement, car quatre points quelconques a, b, c, d de la première droite ont leur rapport anharmonique égal à cutui des quatre points correspondants de la seconde (l'i).

Il est clair que le point d'intersection des deux di-oites SL, SL' représente deux points de division homologues coïncidents. Nous dirons que ce point est un point commun aux deux divisions.

108. Réciproquement: Quand deux droites sont divisées homographiquement, si leur point de concours, considéré comme appartenant à la première diiHsion, est lui-même son homologue dans la seconde division, les droites tjui joindront un à un respectivement tous les points de division homologues concourront en un même point.

Cela est évident d'après le théorème (^2).

109. Quand des rayons issus de deux points Jixcs se coupent deux à deux en des points situés en ligne droite, ces rayons forment deux faisceaux homograpkiques.

En effet, soient a, b, c, d (fig, i3) les points d'intersection de quatre rayons du premier faisceau par les rayons correspondants, un à un respectivement, du second faisceau : ces quatre points étant en ligne droite, leur rapport anliarmonique est égal à celui des quatre droites issues du point O et à celui des quatre droites correspondantes issues du point O' ( 13). Donc, les deux séries de quatre droites ont leurs rapports anharmoniques égaux; ce qui est le caractère de deux faisceaux homograptiiques. Donc, etc.

Il est clair que la droite 00', qui joint les centres des deux faisceaux, représente deux droites homologues des deux faisceaux, lesquelles sont coïncidentes. Nous dirons que cette droite est im

rayon

ux deux faisceaux.

110. Réciproquement: Quand deux faisceaux homographiques sont tellement placés que la droite qui joint leurs centres, étant considérée comme appartenant au premier faisceau, soit ellemême son homologue dans le second, les autres droites du premier faisceau rencontreront respectivement leurs homologues en des points situés en ligne droite.

Cela résulte immédiatement du théorème (i7 ).

m. Quand deux droites sont divisées hojuographie/uement aux points a, h, c, ... et a', b', c', . . . , i/ui se correspondent un à

un respectivement, si l'on prend sui- une droite aa', qui joint deux points correspondants, deux points fxes quelconques P, P', les

DIVISIOX IIOMOCBAPIIIQUE. Oy

droites PL, Pc, . . . rencontreront respectwcnwnt les droiles P'b', P'c', . . ., en des points S, 7, ■ ■ . qui seront en ligne droite.

En effet, ces droites forment deux faisceaux homographiques, parce que quatre rayons du premier faisceau ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre rayons correspondants du second. Mais deux rayons correspondants, savoir Va et Va', coïncident en direction. Donc les autres rayons du premier faisceau rencontrent respectivement les rayons correspondants du second en des points situés en ligne droite (110).

Observation. — Cette proposition, qui constitue un mode général de description d'une ligne droite par points, donne lieu à de nombreux corollaires, tant à raison de l'indétermination de position des deux pôles fixes P, P' que parce qu'il y a bien des manières différentes de faire des divisions homograpliiques sur deux droites, comme nous le verrons dans la suite,

H2. Etant donnés deux Jaisceiiux hontographi//ues, si par le point d'intersection de deux rayons homologues on mène deux droites transversales Jixes qui rencontrent respectivement les deux faisceaux en deux séries de points, les droites qui joindront les points de rencontre de la première transversale aux points de rencontre de la seconde, un à un respectivement, concourront en un même point.

En effet, ces points formeront deux divisions homograpliiques dans lesquelles le point de rencontre des deux transversales représentera deux points homologues, c'est-à-dire que ce point, considéré comme appartenant à la première transversale, sera lui-même son homologue dans la seconde.

Donc, d'après le théorème (108), les droites qui joindront un à un respectivement les autres points homologues concourron t en un même point. c. q. f. d.

Cette proposition, de même que la précédente, donnera lieu à beaucoup de corollaires, à cause de l'indétermination de position des deux transversales, et des différentes manières de former les faisceaux homographiques.