Quand deux droites sont di<,'isées lioinographiqueinent

70 TRAITÉ DE GÉOMÉTItlE SUPÉIlIErRE. — CIIAPlTItE VI.

aux points a, b, c, . . , et u', h', c', . . . , tjui se correspondent un à un respectivement, deux droites telles que ab' et ba', qui vont de deux points quelconques de la première aux deux points correspondants de la seconde, pris inversement, se re/icontrent toujours sur une même droite fixe.

Désignons par la double lettre AB' le point d'intersection des deu^ droites L, L' [Jig- i4); i^ lettre A appartiendra à la première droite, et la lettre B' à la seconde. Soit A', sur celle-ci, le point correspondant au point A de la première, et B, sur cette première, le point correspondant au point B' de la seconde. Cela posé, nous allons démontrer que le point d'intersection de deux droites telles que flè' et a' 5 se trouvera sur la droite fixe A'B,

En effet, les quatre points a', b', A', B' de la seconde droite correspondent, dans les deux divisions homographîqucs , aux quatre points a, b, A, B de la première droite, c'est-à-dire que les quatre premiers points ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre autres ; donc les quatre droites aa', ab', aA', oB' issues du point a ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites afa, a'b, a'A, a'B issues du point «'. Ces deux faisceaux de quatre droites ont deus rayons homologues coïncidents suivant aa'. Donc les trois autres rayons du premier faisceau rencontrent, un àun respectivement, les trois autres rayons du second faisceau en trois points situés en ligne droite (110) ; ces trois points sont m, point d'intersection des deux droites ab' et a'b, A' et B. Ainsi, le point m est situé sur la droite fisc A'B ; ce qu'il fallait prouver. Donc, etc.

i 14. Corollaire I. — Le point d'intersection p des deux droites ac'i tJc et le point d'intersection n des deux droites hd , b'c se trouvent donc sur la même droite. Or les trois points a' , h', d, qui correspondent un à un aux trois a, b, c, peuvent Être pris tout à fait arbitrairement. De là résulte donc c

Etant pris sur deux droites L, L' deux séi'ies de trois points quelconques a, b, c et a', b', c' qui se correspondent un à un, les trois points de croisement des diagonales ab' et a'b, ac' et a'c, Ijc' et b'c sont en ligne droite.

nivisioN iiojioGR.vpniQUE. 71

Voici une démonstration dit-ecte, fort simple, de ce tlioorêmc particulier.

Les quatre droites issues du point a, aa', ab', ac' et ac {Jig- i J j ont leur rapport Enharmonique égal à celui des quatre droites issues du point c, ca', cV , ce' et ca, parce que ces droites se rencontrent deux à deux en quatre points situés en ligne droite. TI s'ensuit que les intersections des quatre premières droites par la transversale ba' et les intersections des quatre autres par la transversale bc' forment deux séries de quatre points a', m, x, b etj)', n, c', b ayant le même rapport anharmonique. Or b est commun aux deux séries ; donc les trois droites a'j, mn et xc' ou a'c, mji, (/a concourent en un même point (42), c'est-à-dire que le point de concours p des deux di'oites ac' et a'c se trouve sur la droite mn. c. Q. F. n.

Remarque. — La figure représente un hexagone ab'ca'bc' inscrit aux deux droites L, L', et le théorème exprime que les trois points de concours des côtés opposés de l'hexagone sont en ligne

US. CoBOLLiiRElI. — Quand les points de divisions, b,c, . . -, a', b', c', . . ., sur les deux droites L, L' {fig- 16), sont déterminés par des transversales issues d'un même point p, il est évident que la droite mn, lieu des points de rencontre des diagonales des quadrilatères tels que aciVb, h b'dc, . . . , passe par le point de concours des deux droites.

Ajoutons que la droite mn coupe les transversales paa', pbb', ... en des points «, 5, . . ., qui sont les conjugués harmoniques du point p sur les segments aa', bb', . . . , c'est-à-dire que l'on a

En effet, les quatre points p, b, S, h' ont leur rapport anharmonique égal d'une part à celui des quatre p, a, k, a', parce que les trois droites ha, Sa, h' d concourent en un même point, et d'autre part à celui des quatre points p, a' , c, a, parce que les trois droites ha', Sx, b'a passent par le même point m. Donc les quatre points p, iï, «, a' ont leur rapport anharmonique égal à

72 TRAITE DE GEOJitTIlIE SUPERIEIRI

cclili des qiiaLre p, a, a., a, et l'on a

Donclesdeuxpoials p. œ sont conjugués harmoniques par rappoil aux deux (1, a'. c. q. f. b.

H6. Etant donnés deux jaisceaux homographujues, si l'on prend dans le premier deux rajons i/uelcofiçue.i A, B et dans le second les deux rayons homologues A', B', la droite qui joindra le point d'intersection des deux rajons non homologues A, B' au point d'intersection des deux autres B, A.' passera toujours par un même point Jixe.

Soient X le point d'intersection des deux rajons A, B' [fig- 17) et y le point d'intersection des deux B, A'. Il s'agit de prouver que la droite xj passe toujours par un même point. Prenons le rayon OÙ qui, dans le premier faisceau, correspond à la droite O'O du second faisceau, et le rayon CVil qui correspond, dans le second faisceau, à la droite 00' du premier. Le point de concours iî de ces deux droites est le point fixe par lequel passe la droite xy-

En effet, les quatre rayons du premier faisceau OA, OB, OC, O ii ont leur rapport anliarmonique égal à celui de leurs homologues O'A', O'B', O'û, O'O. Coupons les quatre premiers par le rayon O'A' et les quatre autres par le rayon OA ; on aura deux séries de quatre points o., j, O', w et a, x, w', O, dont les rapports anharmoniques seront égaux. Or, dans ces deux séries, le point a. est commun. Donc les trois droites yx, O'w', wO, qui joignent les trois autres points de la première série à leurs homologues, concourent en un même point. Or le point d'intersection des deux droites Ow, O'w' est le point û. Donc la droite xj passe par ce point; donc, etc.

\ 17. ConoLLAiTiE. — - Dans les deuv faisceaux, trois droites du

HOMOCBAPHIQUE. 73

second peuvent être prises arbitrairement pour correspondre à trois droites du premier; de sorte que l'on a, comme corollaire du théorème général, celui-ci :

Quand trois angles A, B, C {ftg- 18) soiis-tendent une même corde 00*, pris deux à deux, ils en sous-tendeni une seconde, et les trois cordes ainsi déterminées concourent en un même point.

Cette proposition, Indépendante de la notion des faisceaux homographiques, peut se démontrer directement d'une manière fort simple.

Soient mm', nn' et pp' les trois cordes sous-tendues par les trois angles pris deux à deux. Les quatre droites issues du point O', O'A, O'B, O'C etO'O, sont coupées parles deux droites OA, OC en deux séries de quatre points A, m', n', O et n, p' , C, O qui ont leurs rapports anharmoniques égaux (l-i), et les droites menées des deux points m, p (intersections de OB par O'A et O'C) 11 ces deux séries de points respectivement forment deux faisceaux qui ont leurs rapports anharmoniques égaux ( 13). Les rajons de ces deux faisceaux sont mA., mm', mri , mO et pn, pp', pC, pO. Or les deux rayons mO et pO sont coïncidents; donc les trois premiers du premier faisceau rencontrent respectivement leurs liomologues du second faisceau en trois points situés en ligne droite (HO), c'est-à-dire que la droite nn' passe par le point de concours des deuxm/n', pp'. c. q. f. d.

^ III. — Construction d'un quatrième point ou d'un quatrième rayon dans deux systèmes de quatre points ou deux faisceaux de quatre droites dont les rapports anharmoniques sont égaux.

118. Trouve/; dans deux séries de quatre points (jui ont leurs rapports anharmoniques égaux, l'un de ces points, quand les autres sont donnés.

Soient a, b, c, d [f'g. 19) les quatre premiers points, et sur une seconde droite, «', h', c! les trois points qui correspondent un à un aux trois a, b, c. On veut déterminer le quatrième point d' correspondant au quatrième d, c'est-à-dire le point satisfaisant à une

74 TMITE r

relalion telle que

d'à' c'a' ,1a , ru Tfb' • 71? ~ db ' 1^'

Première maniàvt;. — On mènera par le point a une droite indofinie dans une direction quelconque, et l'on prendra sur cette droite les segments aS, ay égaux respectivement à «'&', aV, On mènera les deux droites bZ,cy, puis, par leur point de concours O, la droite Od qui rencgnti-era la droite auxiliaire ag en un point J, Enfin, on prendra sur la droite a'V le segment a'(r=nô, et le point cherché d' sera déterminé.

Cette construction s'applique au cas où les points a', b' , d sont donnés sur la même droite que a, b, c, d.

Deuxième manière. — On mènera {jig- 20) les droites ab', ac' , lesquelles rencontreront respectivement les deux a'b, a'c en deux points m, n. Les deux droites a'd et ad' se croiseront sur la droite mn (H3). Par conséquent, la droite ad' se trouve déterminée et tait connaître le point d' .

Troisième manière. —^ On prendra sur la droite ad [fig- 21) deux points quelconques P, P', et l'on mènera les droites Pè, Pc et V'b', PV; les deux premières rencontreront respectivement les deux autres en deux points m, n, et les deux droites Pd, Vd' devront se croiser sur la droite mn (Hl ). La droite Vd' sera ainsi déterminée.

On simplifie la construction en prenant pour P et P' {Jig- 22) les points d'intersection de aa' par hb' el et/, car alors c'est sur la droite cb' que se coupent deux droites correspondantes Prf, P'd'.

Ces diverses constructions permettent de supposer que l'un des points donnés sur chaque droite soit situé à l'infini.

H9. Déterminer dans deux faisceaux de quatre droites correspondantes une à une respectivement, f/ui ont leurs rapports anharmoniques égaux, le quatrième rayon du second J'aisceau, quand les autres sont connus.

Soient OA, OB, OC, OD [Jîg. a3) les quatre rayons du premier faisceau, et O'A', O'B', O'C'les trois rayons du second fais-

[OORiPlIIQliE. 75

ceau correspondant aux trois OA, OB, OC du premier; il faut déterminer le quatrième rayon O'D'.

Première manière. ■ — On supposera qu'on ait déplacé le second faisceau en amenant son centre O' en un point û du rayon OA du premier faisceau et en faisant coïncider en direction son rayon O'A' avec OA, c'est-à-dire que par un point il du rayon OA on mènera deux droites ûë, Q.y faisant avec ÛO des angles égaus respectivement anx deux angles B'O'A', C'O'A', puis onjoindra par une droite L les points où ces deux droites rencontreront respectivement les deux rayons OB, OC. Par le point d'intersection 5 de cette droite L et du rayon OD on mènera la droite £ïô, laquelle fera avec Ï20 un angle égal à l'angle que le rayon cherché O'D' du second faisceau fait avec O'A'. Ce rayon est donc déterminé.

Cette construction s'applique au cas où les deux faisceaux au~ raient le même centre O.

Deuxième manière. — Qu'on prenne les points d'intersection des rayons OA, OB {Jig. 24 ) par les deux O'B', O'A' respectivement, et qu'on lesjoigne par une droite L; puisqu'on détermine de même la droite 1/ qui joindra les points d'intersection des deuxrayons OB, OC par les deux O'C, O'B' respectivement; qu'on prenne le point de concours des deux droites L, L', et qu'on le joigne par une droite an point d'intersection des deux rayons OD, O'A'; celte droite passera par le point de concours des deux droites OA, O'D' (H6) : cette dernière O'D' se trouve donc ainsi délcr-

Troisiéme manière. — Par le point a, intersection des deux rayons homologues OA, O'A! [Jig. 25), on mènera deux transversales quelconques, dont l'une rencontrera les trois rayons OB, OC, OD en trois points h, c, d, et l'autre les trois rayons O'B', O'C, O'D' en trois points b', c', d'. Les trois droites &^, ce', rfrf' concourront en un même point {H2). Donc, par le point d'intersection P des deux premières, qui sont connues, on mènera la droite P<J, qui détermine le point d', et par conséquent le rayon cherché CD'.

Les deux transversales menées par le point a sont arbitraires.

On simplifie la construction en prenant pour ces deux droites [fis- 26) les deux «ë et <xy issues du point « et passant respectivement par le point de concours des deux rayons OB, O'B' et le

■jli TR4ITE DE GEOUëTRIE s

point de concours des deux rayons OC, O'C. En effet, le point P se trouve à l'intersection des deux rayons CfBf et OC. On joindra donc ce point au point d où le rayon OD rencontre a(i ; la droite Pd rencontrera la droite ay en un point d', par où passera le rayon O'D'.

yGoosle

IIOSIOGHAPHIQUIÎ.