I. — Equations l'i deux termes

120. Soient a, h, c trois points de la première droite, «', h', c' les trois points correspondants de la seconde; un quatrième point m de la première droite étant pris arbitrairement, on détermine son liomologuc ni', sur la seconde droite, par la relation

' ' i/m ' bc b'm! ' b' c'

L'expression j-'.jri ^^t une quantité constante À; on a donc

Ainsi : Quand deux droites sont divisées hoinographit/ue/ne/it, le rapport des distances d'un point tjuelcon^ue de la première à deux points fixes de cette droite est au rapport des distances du point homologue de la seconde aux deux points fixes homologues dans une raison constante.

■iâl . Réciproquement : Quand deux points variables m, nï' divisent deux droites ab, a'h' en segments dont les rapports r— > 'rr — ; sont entre eux dans une raison constante, ces deux points forment sur les deux droites deux divisions homographiques.

En cfTct, que c, </ soient un système particulier des deus poin 1, m', on aura les deux équations

équation qui prouve que les deux pol visions homograpliiques (10-4).

'li' niarqueiil deux di-

122. On peut donner à la constante X une expression géométrique très-simple. Supposons que le point ni' soit à l'infini, et soit I la position correspondante du point m sur la première droite ;

Pareillement, en appelant J' le point de la seconde division rcspond au point de la première situé à l'ir'^ —

nfin

On vérifie aisément l'égalité de ces deux expressions de ),, savoir

car, en désignant par oo et co ' les points situés à l'i

nfini sui

deux droites, on peut écrire

bV ù^ ~ h'x'-l/y'

équation vraie, car elle exprime que les deux série

:s de qu

points a, è, I et oo sur la première droite et a', b' ,

oo' Cl J'

la seconde ont leurs rapports anliarmoniques égaux.

Dans l'expression i ;= — i I est le point de la première division

qui correspond au point situé à l'infini dans la seconde ; conséquemment c'est un point fixe, indépendant des deux points a, b. 11 s'ensuit que, l'un de ces deux points étant pris arbitrairement, on peut choisir le second de manière que la constante A ait iellc

DIVISION HOMOGRAPHiaiE. 79

valeur positive ou négative que l'on voudra. On peut même demander que X Hoit égal à — i : il suffira de prendre les points a et b de part et d'autre et à égale distance du point I.

123. Que l'on prenne sur la première droite les points a, m, I, 00 , auxquels correspondent sur la seconde droite les points a', m', 00 , J', l'équation (i) devient

al ' loo '"lï'so ' J'cc

qui, a raison de -

- = I se réduit à

124. Cas particulier de la diwision homographif/ue de deux droites. — Il est une valeur, et une seule, que ne peut avoir la constante X, ou plutôt qu'elle n'a que dans un cas particulier de

la division homographique : c'est -+- 1 . Alors le rapport — ^z; -+- i

exige que le point T soit à l'infini. Ainsi, le point situé à l'infini sur la première droite a pour homologue, sur la seconde, le point de celle-ci situé à l'infini.

L'équation qui exprime ce cas de la division homograpliique de deux droites est

et les deux droites sont divisées en parties proportionnelles ou sernblablement ; car cette équation donne

ce qui prouve que les deux droites sont divisées en parties proportionnelles.

- cirAPiTnE \

On peut donc dire que : Deux droites divisées en parties proportionnelles sont divisées homographiquement, avec cette circonstance particulière ijue les points à l'infinisur les deux droites sont deux points de division homologues .

Réciproquement : Quand les points à V infini dans deux divisions homograpkicjues sur deux droites sont deux points Iiomologues, les droites sont divisées en parties proportionnelles.

En effet, si les deux points homologues m, m' sont tous les deux

il l'infini, les deux rapports ^ et j;—,y dans l'équation

deviennent tous deux à la fois égaux à l'unité, et dès loi-s la constante / est égale à -H i , Donc, etc.

Il suit de là que, quand on a deux droites divisées homographiquement d'une manière générale, on peut en faire la perspective de manière à avoir deux droites divisées en parties proportionnelles. 11 suffît que deux points de division homologues sur les deux droites passent ensemble à l'infini dans la perspective.

12S. Discussion de l'équation (a). — Cette équation, qui cojitient quatre segments, se réduira à trois ou à deux si l'on prend un ou deux des points fixes à l'infini, car, pour chaque point pris à l'infini, le segment compté de ce point devient infini et disparaît de l'équation, parce que la constante renferme un autre facteur infini qui forme avec le premier un rapport égal à l'unité.

Ainsi, supposons que le point b soit à l'infini; je dis que l'équation devient

, l'cqoal

DIVISIO:^ HOMOGRAPHIQIIE. SI

le point b étant à l'infini, le rapport — est égal à l'unité, et il

ou, en désignant par J' le point de la seconde division qui correspond au point situé à l'infini dans la première,

wn.Vm' ( 4 j — ,—f— = const.

126. Pareillement, si le point a' de la seconde droite est pris à l'infini, le segment a'm' disparaît comme infini, parce que la constante contient, en dénominateur, a'c' qui, étant aussi infini,

rend le rapport —^j- égal à l'unité ; l'équation devient donc

Désignons par I le point a de la première droite, qui correspond à rinfini de la seconde; l'équation sera

Ainsi : Quand deux droites sont divisées homographi^uement, si l'on prend sur chacune le point qui correspond à l'infini de l'autre, les distances de deux points homologues quelconques aux deux points ainsi déterminés auront leur produit constant.

127. Réciproquement: Quand, à partir de deux points fixes sur deux droites, on prend deux points tels, que le produit de leurs distances aux deux points fixes, respectivement, soit constant, ces deux points diviseront les deux droites homographiquement.

En effet, soient I, J' les deux points fixes, et m, m' deux points pris sur les deux droites, respectivement, de manière que l'on ait lm.3'm'=)i. Soient a, a' deux positions correspondantes des deux points m, m', de sorte que la.S'a':^ ^. Ces deux équations

Cbasles. — Géom. sap. D

8a TRAITE DE GEOMETRIE SUPERIEURE. — CHAPITRE VII.

donnent

lm J'm' la ~ ' ' S'il' '

Désignons par u et y' les points situés à l'infini sur les deux droites ; on peut écrire

ïni^icm^^m\i'm'

Donc les deux séries de quatre points a, I, u, m et a', c', J', tn' , «juj se correspondent un à un, ont leurs rapports anharmoniques égaux. Donc, les trois premiers a, I, u et leurs correspondants a', f', J' restant fixes, les deux autres m, m' divisent homograpliiqueinent les deux droites (iOi). c. q. f. d.

128. Observation relative aux signes 4- et — . — Quand on exprime la division homographique de deux droites par l'équation

il n'est pas absolument nécessaire de convenir du sens dans lequel les segments seront regardés comme positijs ou négatifs, parce

que chaque rapport y— et y, — -, a un sig^nc -f- ou — indépendant de

cette convention, comme nous l'avons dit (8). La position du point 7M, relativement au segment ab, suffît pour déterminer, d'une

manière absolue, le signe du rapport ~j et ce signe détermine

celui du rapport -p — ^j et, par suite, la position du point ni', lequel

se trouve sur le segment a'b' ou .tu dcbors, selon que le signe du

rapport j^—, est — ■ ou ~\-. De sorte que l'on construit la division de

la seconde droite sans aucune ambiguïté.

Mais il n'en sera plus de mcme si l'on prend l'équation

11 faut nécessairement alors convenir du sens dans lequel le segment am sera regarde comme positif ou négatij.

De même, si l'on exprime les divisions homogi-aphiques par l'équalion

il laudra convenir aussi du sens dans lequel on comptera les segments V m positifs.