II. — Équation à iroh termes

129. On peut exprimer l'égalité des rapports anharmoniques de

deux systèmes des quatre points tï, h, c, m. et «', £', c', m' par l'équation à trois termes

, . So , Va'

OU, en laisant — ^ A et -,-, ^ft,

Ainsi, étant pris sur une première droite deux points fixes a, è, et sur une seconde droite deux points fixes c', V dont le premier est arbitraire, mais dont le second est l'homologue du point h de la première droite, cette équation exprimera la division homograpliique des deux droites.

Cette équation à trois termes nous sera d'un grand usage.

Les trois points n, b, é étant pris arbitrairement, on peut en supposer un à l'infini sur chaque droite; les facteurs qui deviendront infinis disparaîtront de l'équation, parce qu'il se trouvera dans les constantes d'autres facteurs infinis qui donneront lieu à des rapports égaux à l'unité, comme dans l'équation à deux termes. L'équalion (6) prend alors différentes formes :

Quand a est à l'infini, elle devient

quand b' se Irouve à l'infini, auquel cas le point h est en I, l'équa-

84 TIIAITË DE GEOMETRIE SUPÉRIliURE. — CHAPITIIE VII.

tion est

quand a et V sont ensemble à l'infini,

enfin, quand a et c' sont à l'infini.

Chacune de ces équations exprime la division homographique générale de deux droites.

130. Dans la dernière, les coefficients X, p ont des expressions géométriques très-simples. En effet, supposons que le point m' soit à l'infini, et soit I le point correspondant sur la première

droite ; l'équation devient j- := i . Soit, de même, J' le point de la

seconde droite qui correspond à l'infini de la première; on a

■~ =zz I, et l'équation devient

Cette équation exprime donc la division homographique de deux droites, sur lesquelles I est le point de la première qui correspond à l'infini de la seconde, J' le point de la seconde qui correspond à l'infini de la première, et 5, V deux points homologues quelconques.

Ainsi, a et a' étant deux autres points homologues, on aura tes deux relations

DIVISION HOMOGBAPHIQTJE. 85

De sorte que deux de ces trois équations comportent l'autre (').

131. Cas particulier. — Dans le cas particulier où les deux droites sont divisées en parties proportionnelles, les deus points à l'infini sont deux points correspondants (124)- On peut donc les prendre pour les deux points b el b' , et alors l'équation (6) devient

Ainsi cette équation exprime que deux droites sont divisées en parties proportionnelles.

Les deux constantes X et ^t ont des expressions géométriques très- simple s . Que le point m coïncide avec le point a, le point

wi^deviendra<i'; de sorte qu'on a fj..c^a'= i, d'oîi (x= — — ■ Pareillement, c étant dans la première division l'homologue du point c' de la seconde, on a 1 = — - L'équation devient

On vérifie aisément que cette équation

trouvées précédemment (i2i). En efFet, qu'on j fasse

elle devient

— ■ -h -,-■ = o, ou — = —r-j-

C) Eu Alijèbre, on peut dire que les deiii équations

comportent i^olle-ci :

Que dans celle-ci on fasse

132, On conçoit bien que l'observation précédente (128) sur la nécessité d'indiquer le sens dans lequel on comptera les segments positifs ou négatifs s'applique nécessairement aux équations(7, 8, 9 et lo).

133. La formule (lo) conduit naturellement à une propriété intéressante de deux divisions homographiqucs , savoir, que l'on peut toujours prendre, à partir d'un point donné de la première division, deux segments qui soient égaux respectivement à leurs homologues dans la seconde difision, mais l'un avec le même signe et l'autre avec un signe contraire.

En effet, les deux divisions s'expriment par l'équation

Si l'on veut que le segment am soit égal à son homologue a' m' et de même signe, le point m sera déterminé par l'équation

et, si l'on demande un segment «M égal à son homologue (/M' et de signe contraire, on aura

Mettant à la place des constantes X et fi leurs expressions géométriques (130), on a

am = al-^-a•i',

aM = aI — û'J'.

134-. Application. — Si autour d'un point p {fig- *?) on fait tourner une transversale qui rencontre deux droites fixes SA, SA' en m et ni, ces deux points marqueront deux divisions homo-

DIVISION HOMOGRÂPHIQUE. 87

graphiques ; les parallèles aux deux droites menées par le point ^o déterminent les deux points I el J', et l'on exprime t'Iiomograpliie par la relation

Supposons que les segments Sm, S/m' soient comptés positivement vers A et A', et négativement sur le prolongement des deux droites au delà du point S.

Si l'on dem.ande que Sjk, :=: Sni, , on aura

S/Ml — SU- SJ'.

Dans la figure, SI est positif et SJ' négatif; il faudra donc prendre, de I vers S, l/w, := SJ', et le point /M) sera déterminé. Si l'on demande que SM=^ — SM', on aura

SJ' est négatif par lui-même dans la figure ; donc la valeur numérique de SM est (SI-4-SJ'}. On prendra donc, à partir de Idans le sens positif, IM^ SJ', et le segment SM sera déterminé.

135. Si l'on demande de mener par un point p pris sur la hase d'un triangle SAA' {Jig- 28) la droite pmm' , qui retranche deux segments A/w, A'm' égaux, soit avec le môme signe, soit avec des signes différents, la solution sera la même; on aura, pour une transversale quelconque,