PREFACE. XV

ij'un théorème, et que cotte démonstration n'ait plus lieu quand ces mêmes parties deviennent imaginaires. Alors on dit qu'en vertu du principe de continuité le théorème démontré dans le premier cas s'étend au second, et on l'énonce d'une manière générale.

Quelquefois le contraire a lieu, et c'est quand certaines parties d'une figure sont imaginaires que l'on y trouve les éléments d'une démonstration facile, dont on applique ensuite les conséquences, en vertu du principe de continuité, au cas où ces mêmes parties sont réelles et où la démonstration n'existe plus.

Prenons un exemple de chacune de ces circonstances.

Deux sections coniques situées dans un même plan se coupent, en général, en quatre points, dont deux ou tous les quatre peuvent être, imaginaires. Quand l'un de ces cas d'imaginariié a lieu, on démontre que les deux coniques peuvent être regardées comme la perspective de deux cercles situés dans un même plan, et alors on applique immédiatement à ces deux courbes les propositions relatives aux deux cercles, notamment celles qui concernent leurs centres de similitude ; ce qui donne de belles propriétés des deux coniques, concernant leurs centres d'homologie (' }.

Mais, quand ces deux courbes se coupent en quatre points réels, ce mode de démonstration fait défaut, car les deux courbes ne peuvent plus être considérées comme la perspective de deux cercles, puisque ceux-ci ne se coupent qu'en deux points réels. Alors on invoque le principe de continuité, et l'on dît que les théorèmes démontrés dans le premier cas s'appliquent également à deux coniques qui ont leurs quatre points d'intersection réels.

Dans cet exemple, c'est le cas où les parties contingentes de la figure se trouvent imaginaires qui fournit une démonstration des théorèmes que l'on a en vue. Dans l'exemple suivant, les parties contingentes sont réelles.

Soit un quadrilatère inscrit dans une conique ; une transversale, menée arbitrairement, rencontre la courbe et les deux systèmes de côtés opposés du quadrilatère en trois couples de points, entre lesquels ont lieu les équations d'involution. Que deux autres coniques passent parles quatre sommets du quadrilatère, les deux

(') Voirie Traiid des propriélés prujeai-'ei d^s fgurei âe il.Vauce\ei,f. Go et |56.

points d'intersection de chacune d'elles par la transversale formeront pareillement «ne involution avec les deux couples de points appartenant aux quatre côtés du quadrilatère; et l'on conclut de là, en combinant les équations d'involution, que les trois couples de points qui appartiennent respectivement aux trois coniques sont eux-mêmes en involution, c'est-à-dire que : « Quand trois coniques passent par quatre mêmes points, toute transversale les rencontre en six points en involution ( ' ). »

Ce théorème est ici démontré dans le cas où les quatre points communs aux trois courbes sont réels, et, par le principe de continuité, on l'étend au cas où deux de ces points ou tous les quatre sont imaginaires, bien qu'alors la démonstration n'ait plus lieu, puisqu'il n'y a plus de quadrilatère.

En Géométrie analytique, la démonstration de ces théorèmes a toute la généralité désirable, car on n'y fait point acception des circonstances de réalité ou d'imaginarité des points d'intersection des coniques. Et il semble que c'est cette puissance de l'Analyse qui autorise à faire avec confiance, en Géométrie pure, usage du principo de continuité.

Sans vouloir élever aucune objection contre celte manière de procéder, qui peut, dans certaines questions, fournir au géomètre des ressources dont il fait bien de ne point se priver, j'ai cru cependant, et par plusieurs raisons, devoir m'abstenir de l'employer dans l'Ouvrage actuel.

D'abord, ce principe de continuité n'étant pas démontré apriori^ en l'invoquant comme une sorte d'axiome ou de poslulatum, on s'écarte de ['exactitude rigoureuse qui constitue le caractère principal, et l'on peut dire la supériorité, des sciences mathématiques en général, mais surtout de la Géométrie.

En outre, avec ce principe, fût-il prouvé en toute rigueur, on n'a pas une démonstration directe, qui seule satisferait compléte-

(') Cstle propriété des coniques a été doniiéo par M. Slunii cl; Pnrtie d'un Mémoii'B donl la suile, au grand regret des géoioèlres, n'a (Voir Annales de Mathémadqaes de M. Gergoiine, t. XVII, p. 180.)

ment l'espril; on laisse dans chaque question une lacune et un sujet de recherche.

Mais il est une autre considération plus puissante qui m'a déterminé à ne pas profiter, dans ce Volume destiné à poser les bases de méthodes générales, des facilités qu'aurait pu offrir souvent le principe de continuité. Une étude attentive des différents procédés de démonstration qui peuvent s'appliquer à une même question m'a convaincu qu'à côté d'une démonstration facile, fondée sur quelques propriétés accidentelles ou contingentes d'une figure, devaient s'en trouver toujours d'autres, fondées sur des propriétés absolues et subsistantes dans tous les cas que peut présenter la fig-ure en raison de la diversité de position de ses parties; et j'ai éprouvé que la recherche de ces démonstrations complètement rigoureuses est d'autant plus utile, qu'elle met nécessairement sur la voie des propositions les plus importantes, de celles qui établissent tous les liens qui doivent exister entre les différentes parties d'un même sujet.

Je me suis donc proposé d'introduire dans cet Ouvrage, avec la notion explicite des imaginaires, des démons ti'ations aussi rigoureuses et aussi générales que celles de la Géométrie analytique.

Ces démonstrations deviennent aussi faciles que les premières quand on en a préparé la voie par la recherche de quelques propositions d'une certaine nature, savoir de propositions reposant sur les propriétés absolues ou pej-nianentes de la figure que l'on considère, et non simplement sur ses propriétés contingentes. Ces propositions se distinguent par ce caractère spécial que les objets susceptibles de devenir imaginaires n'y entrent pas sous forme explicite, mais s'y trouvent représentés par des éléments réels, de même que les racines d'une équation n'entrent pas elles-mêmes dans les calculs de la Géométrie analytique et y sont représentées collectivement par les coefficients de l'équation.

Ces propositions, où n'entrent ainsi que des relations qui, en Analyse, s'exprimeraient au moyen des coefficients d'une équation ou d'autres fonctions symétriques des racines de l'équation, sont celles qu'il importe le plus de connaître, comme étant à la fois les plus fécondes et les plus propres à donner à la Géométrie le degré de généralité qui fait la puissance de l'Analyse.

Je terminerai ces considérations sur les imaginaires par une remarque qui se rapporte essentiellement au sujet.

Il peut arriver, quand quelques parties d'une figure deviennent imaginaires, que les propositions soient susceptibles de nouveaux énoncés très différents des premiers, et donnent lieu à des propriétés de l'étendue très différentes aussi de celles que l'on considérait d'abord.

On trouvera un exemple remarquable d'une telle transformation dans un système de cercles ayant le même axe radical. Si l'on suppose l'un des cercles imag'inaire (ce qui aura lieu selon la position du point que l'on prendra pour centre du cercle), toutes les propositions générales appartenant à ce système fournissent immédiatement, en changeant d'énoncés, de fort beDes propriétés des cônes à base circulaire. Transformation singulière, qui montre le sens profond de cette pensée d'un illustre géomètre de nos jours : « En Géométrie, comme en Algèbre, la plupart des idées différentes ne sont que des transformations ; les plus lumineuses et les plus fécondes sont pour nous celtes qui font le mieux image et que l'esprit combine avec le plus de facilité dans le discours et dans le calcul (' ). »

YlII.

Je ferai mention brièvement d'un troisième caractère de généralité que possèdent nos théories géométriques et qui leur donne, dans beaucoup de questions, un avantagée réel sur les procédés ordinaires de la Géométrie analytique. C'est qu'elles s'appliquent indifféremment aux deux genres de propositions que l'on peut distinguer dans la science de l'étendue, selon qu'elles se rapportent à des points ou à des droites ( ^ ) : propositions qui se cor-

(') PoissoT, Mémoire sur la composition des momer, voir les Éléments de Statique, 9' édition, p. 353. (-) 11 n'est ici question que de la Géométrie plan lont des plans qui eoiTespondeiit à 1

respondenl en vertu de cerLaines lois auxquelles on a donné le nom de principe de dualité. Par exemple, à une proposition concernant les côies et les diagonales d'un quadrilatère, en correspond une concernant les sommets et les points de concours des côlés opposés ; à une proposition concernant les points d'un cercle ou d'une conique, en correspond une concernant les tangentes, etc.

La méthode de Descartes, ou Géométrie analytique, ne s'applique pas avec une égale facilité à ces deux genres de propositions. Aussi, dans beaucoup de cas, on n'en démontre qu'une, et l'on en conclut l'autre par les méthodes de transformation des figures, telles que la théorie des polaires réciproques. C'est ainsi que l'on a coutume de conclure du théorème de Pascal sur l'hexagone inscrit à une conique le théorème de M. Brianchon sur l'hexagonecirconscrit.

Nos méthodes s'appliquent avec une égale facilité aux deux sortes de propositions et accroissent, à cet égard, les ressources de la Géométrie.

Aussi nous n'avons pas été obligé de recourir aux méthodes de transformation des figures, lesquelles sont parfois fort utiles, mais ne satisfont pas complètement aux besoins de la science, même quand elles sont applicables, et ne peuvent suppléer à des démonstrations directes.

Nous renvoyons, à ce sujet, aux considérations développées dans le cours de l'Ouvrage (Chap. XXVII).

Ce Volume est divisé en quatre Sections.

La première contient un ensemble de propositions dont l'enchaînement naturel donne lieu à trois théories qui se font suite et sont le développement d'une même notion et d'un même théorème fondamental.

Celte notion se rapporte à une certaine fonction de segments ou d'angles, appelée rapport anharmonique de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites.

Les trois théories successives auxquelles donne lieu cette fonction, que l'on considère dans un ou plusieurs systèmes soit de