Ecrivons l'équalion précédente ainsi

On dira que : Dans deux difisions homograp/tii/ues sur une iiidme droite, deux points homologues quelconifues font avec les deux points doubles un rapport nnJinrmonir/ue constant.

Observation. — Quand la constante X est égale à — i , les deux points m, m' divisent harmoniquement le segment ej (60), Ce cas particulier se rapporte à la théorie de VinvoUuion de six poinis, que nous exposerons plus loin.

161. Co?."STnt.-cTiON nES DEUX poiHTs DOUBLES. — l*renons l'équation qui détermine ces deux points, savoir

L'origine a est arbitraire ; plaçons-la au point O. 11 suffit de faiit rtO= o ; l'équation devient

Cy représentant le point qui correspond, dans la seconde division, au point O de la première. Ce point O étant le milieu du segnienl IJ', on a 01^^ — -OJ'ion peut donc écrire

Ow"~OJ'.00' = o,

DEIV DIVISIONS HOMOGR.VPHIQIES SUR UNE DROITE. lo3

d'où

Om--L± v'OJ'.OO'.

Ainsi, les points doubles sont de part e.t d'autre du point 0 à des distances égales à ^'OO'.OJ', de sorte que leur recherche se réduit à construire une moyenne proportionnelle entre deux lignes.

Quand les deux points O' et J' ne se trouvent pas du même côté du point O, les deux segments 00', OJ' sont de signes contraires ; leur produit est négatif, et les deux points doubles sont imaginaires.

162. Cette construction des deux points doubles est fondée sur la connaissance des deux points I et J', dont la détermination est toujours extrêmement facile, de sorte que la construction a toute la simplicité désirable. Mais on peut demander de construire les deux points doubles immédiatement, au moyen des seules données qui servent à déterminer les deux divisions homographiques, lesquelles sont, en général, trois systèmes quelconques de deux points correspondants. Nous reviendrons sur cette question (Chap, XIII}.

163. La notion des points doubles de deux divisions homographiques est très-importante; elle sera fort utile, notamment pour la résolution des problèmes, où elle procurera des solutions uniformes et très-simples de beaucoup de questions qui conduisent à des équations du second degré parfois très-compliquées. Par exemple, les trois problèmes de la section de l'espace, de la section de raison et de la section déterminée, qui ont été le sujet de trois Traités différents d'Apollonius, se résoudront immédiatement par celte méthode [voir Chap. SIV et XV).

164'. Cas oc l'un des points doubles est a l'iwfini. — Ce cas est celui de deux divisions semblables, car, si le point double/ est à l'infini, l'équation générale

yGoosle

équation qui exprime deux divisions semhlables (I2i).

l6o. CoKSTRtJCTios nu Poi>T nounLEc. — Quand le cocfTicicnt (le proportion nali té ?. csl donné, un seul sysième de deux points liomologues a, rt' sulïit pour déterminer le point double e, parle

rapport -y ^^ï.

Quand les deux divisions sont déterminées par deux couples de points homologues a, a' et h, i', on a pour deux autres points homologues (juclconques m, m' la relation

et, pour déterminer le point double, ]'é(|uat

On portera sur deux droites parallèles menées par les points a et a' deux segments «G, «'6' égaux à ab, db' et dirigés dans le même sens ou en sens contraires, suivant que ah et cih' seront de môme signe ou de signes différents; la droite S6' déterminera le point e.

Autrement. Sur les deux segments ah' , a'b on décrira deux circonférences de cercle passant par un même point g quelconque; elles se couperont en un point g', cl leur corde commune gg' passera par le point double e, car l'équation

DEUX nivisioNS iiOMOGRAPiiiQUES SUR rxE droite, io5

ce qui prouve que le point e est sur la corde commune aux deux circonférences décrites sur les segments ab', db.

166. Quand, dans l'équalinu — ; ^ ),, le coefficient X est égal à

— 1, le point double se trouve au milieu de chaque segment mm' formé par deux points homologues, de sorte que les deux divisions , sont ésalcs ou les mêmes, mais formées en sens contraires. .

, Si le coefficient X est égal à + i , l'équation ■ — - =: i montre que

le point e est à l'infini, de sorte que les deux points doubles coïneident à l'infini. Alors on a

ce qui montre que les segments homologues sont égaux et dirigé? dans le même sens.

.^ II. — Diverses manières d'exprimer deux divisions homo graphique s sur une même droite.