XX PREFACE

quatre points, soit de quatre droites, peuvent être dites théories du rapport ankarmonique, des divisiojts et faisceau.x homograpJiiques, et de Vinvoliition.

Ces théories forment la hase de nos procédés de démonstration. Chacune des propositions dont elles se composent s'y trouve comme un anneau nécessaire à leur enchaînement continit, et toutes sont susceptibles d'applications ultérieures très-diverses.

Je dois rappeler ici brièvement ce que nous entendons par rapport anharinonique, divisions et faisceaux homo graphiques, et invoîiition.

Quand quatre points a, h, c, d sont en ligne droite, on appelle

rapport anharmonique de ces points une expression ou fonction de

ac bc quatre segments telle que — -; — ■

Dans le cas particulier oîi la fonction est égale à l'unité (abstraction faite des signes des segments), on dit communément que les quatre points sont en rapport harmonique. C'est pourquoi j'ai donné à la fonction, dans le cas général, le nom de rapport anharmonique (I).

De même, quand quatre droites A, B, C, D concourent en un même point, ce qu'on exprime en disant qu'elles forment un fais-

■M, chaque fonction de sinus de la forme

n(A.C).sin(B,C} HA,D)"sin(B.D)

un rapport anharmonique des quatre droites, ou du faisceau.

J'appelle divisions homograp/iiques sur deux droites, ou sur une seule, deux séries de points qui se correspondent deux à deux de manière que le rapport anharmonique de quatre points quelconques de la première série soit égal à celui des quatre points corrcspondanls de la seconde ; et faisceaux hom.o graphiques deux faisceaux dont les droites se correspondent deux à deux de manière que le rapport anharmonique de quatre droites du premier faisceau soit égal à celui des quatre droites correspondantes du second faisceau (*).

Enfin je considère Vinvolution de six points, conjugués deux à deux, comme une égalité entre le rapport anharmonique de quatre

de ces polnls et celui des quatre points conjugiKÎs; et de même pour l'involution de six droites (').

Cette définition de l'involution se prête avec une grande facilité à l'extension considérable dont cette théorie était susceptible, et qui sera d'un grand usage surtout dans l'étude des sections coniques et des surfaces du second ordre.

Les fonctions anharmoniques de quatre points et de quatre droites jouissent d'une propriété commune, fort simple, qui forme le théorème fondamental que nous prenons pour point de départ dans le développement de nos trois théories; c'est que :

Quand un faisceau de <}uatre droites est coupé par une transversale, le rapport anharmonit/ue des quatre points d'intersection est égal, /tuincriquement et afcc le même signe, à celui des i/uatre droites.

Ainsi, les droites étant A, B, C, D et les points d'intersection a, b, c, d, on a toujours

«c , ic siufA.C) , sin(B.G) ~^d'Td~ sin(A,D) ' sln"(BJ> j '

On conclut de là immédiatement que, quand les quatre droites sont coupées par deux transversales, les deux séries de quatre points d'intersection ont le même rapport anharrnonique ; ce qu'on exprime brièvement en disant que le rapport anharmonique de quatre points est projectif.

Cette propriété du rapport anharmonique de quatre points a été connue des anciens. On la trouve dans six propositions du VII' livre des Collections mathématiques de Pappus, parmi les lemmes relatifs aux porîsmes d'Euclide (^). Chez les modernes, Pascal et

C) aperçu historique. Note X; -Boir p. 3i8.

C) Propositions 129, 136, 137,140,142, Vli {"dv Jpcrçu historique, etc., p. 38).

Dans la proposition 129, Pappus démontre que : Quand trois droites B, C, ï> panent

Les proposilions 136 et 142 eiprimant la réciproque de o

SSII PREFACE.

Desargues l'ont comme ; et vers le même temps Grégoire de Saint- Vincent el de La Hirc ont fait un grand usage du cas où les points sont en rapport harmonique. Carnot, en démontrant ce cas particulier, a considéré, le premier, le rapport des sinus des angles du faisceau ('). M. Brianchon a énoncé la proposition générale ets'en est servi dans son Mémoire sur les lignes du second ordre, el M. Poncelet, en faisant usage simplement, comme de La Hirc et Grégoire de Saint-Vincent, du cas du rapport harmonique, a cité la proposition générale de M, Brianchon (^). Depuis, plusieurs géomètres, et surtout MM. Môbius(9) et Steincr ['•), ont fait un usage plus étendu de cette proposition et de celle qui exprime l'égalité entre le rapport enharmonique d'un faisceau de quatre

id' cancour^nc en wi mime point.

Dana la proposition 137, la seconde transversale est parnlltle à l'iiiie des droites [iii faisceau, et, par suite, le second membre de l'équation se réduit au simple rapport de deus segments. On pourrait considérer cette proposition tomme un corol laira do la 139" : néanmoins elle a la même portée que celle-ci, parce qu'elle eiprime, comme elle, que la fonction — : — relative a. la première transversale a une valeur

constante, quelle que soit la direction de cette droite. La proposition 140 est la réciproque de 137. Enfin la proposition 145 est un corollaire de la I3Q*; les quatre points n, *, e, d

M, Poncolet (voir Traite des propriétés projectiles des figures, p. 12) et plusieurs aiilears après lui ont cité de l'Onvrage de Fftppus cette dernière proposition 145, qui prouve que le rapport harmonique est projeetif. Mais on voit quffla proposition générale se trouve aussi dans l'Ouvrage du géomèlre grec, cl môme avec une proposition réciproque fort importante. On peut penser qu'Euclide lui-même faisait usage de ces propositions dans son Traité des porisnu-i.

(') Essai sur la théorie des Transversales, p. 77.

(') Traité des propriétés projectiles des figures, p. 12.

{'^ Der bar jeeiltrische Calcul, vXs.

(') Systematische Enlteickelung der M/iangigkeil Gcometrischer Gcslallen von einaitder. Berlin, i833, in-8°.

droites el celui des quatre points d'intersection de ces droites par ime transversale. Nous-mème avons fait usage aussi de ces fonctions anharmoniques, notamment en les prenant pour le type des relations transformables, dans la théorie des figures homographiques, comme dans celle des figures corrélatives ( ' ).

Mais, indépendamment de ces applications spéciales, la notion du rapport anharmonique était susceptible de développements dont j'ai traité quelques points dans V Aperçu Idstoriijue (2), en m'efforçant d'appeler l'attention des géomètres sur une matière dont l'étude me paraissait devoir être extrêmement utile aux progrès de la Géométrie ('). Ce sont ces développements qui ont donné lien aux trois théories distinctes dont je viens de parler.

On peut se rendre compte de la facilite que doit procurer le j-ap- /w;'f««/iiï/vno«i^Mepourla démonstration des propriétés des figures. Elle provient de l'équation

»c.i.^sin(A.C).sin(B,C) ad' btl sin(A,D) ■sin(B,D)'

qui exprime que le rapport aiiharnionû/ue de quatre points en ligne droite est égal à celui de tout fiaisceau de quatre droites passant par ces points.

En effet, il résulte de cette propriété du rapport anharmonique que cette fonction peut servir de lien entre les parties d'une figure pour établir les relations qu'elles comportent et qui constituent les propriétés de la figure.

Par exemple, si les rayons de deux faisceaux se coupent deux à deux en quatre points en ligne droite, les rapports anharmoniques des deux faisceaux sont égaux , et, si ces deux faisceaux sont coupés respectivement par deux transversales, les rapports anharmoniques des deux séries de quatre points d'intersection seront égaux. De chacun de ces deux systèmes de quatre points on passe

( ■ i aperçu historique, p. 575-Si8.

(') T'oir Hole IX, p. 3o2-3o8, et Notes XV e

i') ro/rp.33-35, 38-39, 8j, iSg, 255.

de même à d'autres sys Lèines semblables, par l'intermédiaire d'autres faisceaux. De là peuvent donc résulter des propriétés de la fig^ure, concernant des points et des droites. On verra, en effet, dans tout le cours de l'Ouvrage, qu'il y a presque toujours lieu de considérer ainsi, dans chaque question, quelques systèmes de quatre points ou de quatre droites ayant les mêmes rapports anharmoniques. On peut d'ailleurs former, avec trois points seulemenl situés en ligne droite, un rapport anharmoniquc, en y faisant entrer le point situé à l'infini sur la droite, auquel cas la fonction anharmonique est simplement un rapport de deux segments.

Mais il ne faudrait pas croire que l'on ne démontre ainsi qiie des propriétés exprimées par la simpleégalité de deux rapports anharmoniques. Cette égalité sert d'auxiliaire ou deîien, comme feraient d'autres propositions, mais avec beaucoup plus de facilité que d'autres, pour établir les diverses relations qui constituent les propriétés d'une figure. Du reste, on verra que cette égalité même ne s'exprime pas uniquementpar une équation à deux termes, comme on pourrait le penser d'après la définition du rapport anharmoniquc, mais aussi par des équations à trois et à quatre termes, de formes variées, équations dont chacune a des applications spéciales fort étendues.

Aucune autre proposition ne me paraît aussi propre que celle du rapport anharmoniquc à servir de lien entre les diverses parties d'une figure dont on veut découvrir ou démontrer les propriétés. La proposition la plus fréquemment employée est celle de la proportionnalité entre les côtés des triangles semblables. Mais ces triangles n'existent pas, en général, dans les données de la question, et il faut chercher à les former par des lignes auxiliaires, tandis que les rapports anharmoniques s'aperçoivent presque toujours dans la figure même ou s'y peuvent former aisément.

La fonction anharmoniquc, indépendamment de la facilité qu'elle procure dans les démonstrations, porte en soi !e germe des caractères généraux qui distinguent, comme nous l'avons dit, nos procédés de démonstration ; savoir l'application constante du principe des signes; l'égale facilité de traiter les deux genres de questions

relatives aux points et aux droites; et la considération des imag-înaires de la même manière qu'en Géométrie analytique.

En effet, l'égalité entre la fonction de segments et la fonction correspondante de sinus comporte le principe des signes ; et, comme nos théories découlent de cette unique proposition, il s'ensuit que tous les résultats admettent naturellement et nécessitent même l'application du principe des signes.

Cette manière de faire dériver, pour ainsi dire, toute la Géométrie supérieure d'une proposition unique qui implique l'usage des signes, a de l'analogie avec ce que l'on fait dans la Trigonométrie et dans la Géométrie analytique.

Car, dans la Tr!gonoméLrie,ondémontrela formule du développement de %\n[a-\-b) en prouvant avec soin que la règle des signes s'y applique, et l'on déduit de cette formule unique toutes les autres.

De même, en Géométrie analytique, on démontre l'équation delà ligne droite et l'on prouve qu'elle comporte le principe des signes; puis cette équation forme le point de départ et le fondement de tous les calculs ultérieurs.

De même, dans notre Géométrie, une seule proposition esprimanl l'égalité de deux fonctions enharmoniques de segments et de sinus forme la base de tout l'Ouvrage et introduit naturelJenienl le principe des signes.

Mais cette simple égalité a quelque chose de plus général et de plus primordial que les deux propositions qui servent de base à la Trigonométrie et à la Géométrie analytique, car celles-ci peuvent être considérées comme des conséquences de la première, ainsi qu'on le voit dans le cours de l'Ouvrage (' ).

Quant aux deux genres de propriétés des figures auxquels donne lieu la distinction àes points et des droites, on conçoit que la fonction anliarmonique y soit également propre, puisqu'elle implique les droites par la fonction de sinus aussi bien cl au même titre

C) Chiip. Il, g V, ctClmii, XXI, ;

que les points par la fonction de segments. Aussi tous les développements qui découlenlde la proposition fondamentale comprennent deux ordres de recherches différentes, mais qui se correspondent parfaitement : les unes relatives à des points el les autres à des droites.

On voit donc qu'à cet égard, comme à l'égard du principe des signes, la fonction anharmonique offre des avantages qui ne se trouvent dans aucune des propositions dont on se sert le plus fréquemment dans la Géométrie, telles, par exemple, que la proportionnalité des côtés homologues dans les triangles semblables.

Du reste, le rapport anharmonique de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites est la fonction la plus simple qui puisse donner lieu à une égalité entre une fonction de segments et la fonction semblable de sinus; c'est-à-dire qu'avec trois points et un faisceau de trois droites on ne peut pas former de fonctions qui jouissent de cette propriété.

Pour montrer comment j'introduis en Géométrie pure la notion des imaginaires de la même manière qu'on le fait en Géométrie analytique, c'est-à-dire par la considération des racines d'une équation du second degré, il faut donner d'abord une courte explication relative aux divisions et sm-h. faisceaux Jioinograpliiqu.es.

Deux divisions ho/nographiques sur deux droites, ou sur une seule, sont deux séries de points qui se correspondent deux à deux de manière que le rapport anharmonique de quatre points quelconques de la première série soit égal à celui des quatre points correspondants de la seconde série. La relation entre deux points correspondants des deux divisions s'exprime, de même que l'égalité de deux rapports anharmoniques, par des équations à deux, à trois ou à quatre termes, lesquelles sont indépendantes de la position des deux droites .

L'une de ces équations est de la forme

A«i.I!'»i' + >..A« +,i/.B'm'-(-v = o, A et B' étaat deux points fixes quelconques sur les deux droites,

m, né deux points correspondants des deux divisions, et X, [j., v des constantes qu'on détermine au moyen de trois couples de points correspondants.

Quand les deux droites sont coïncidentes, on peut rapporter les points de la seconde division à la même origine que ceux de la première, et l'équation devient

Af«.Am' + >..Aw + ji..Am' -]- v = o.

On voit immédiatement, d'après cette équation, qu'il existe sur la droite deux points, déterminés par l'équation du second degré

A^V{).-i-,^'}Am + v = o,

qui jouissent de cette propriété que chacun d'eux, considéré comme appartenant à la première division, est lui-même son homologue dans la seconde division. J'appelle ces deux points les points doubles des deux divisions. Quand les racines de l'équation sont imaginaires, on dit naturellement, comme en Analyse, que ces points sont imaginaires, mais leur point milieu est toujours ' réel, ainsi que le rectangle de leurs distances à l'origine A. Et s'il n'entre dans la question que l'on traite que ce point et ce rectangle, ou bien les coefficients i, u. et v, ou bien encore les trois couples de points correspondants des deux divisions homographiques qui suffisent pour déterminer ces coefficients, les résultats seront indépendants des circonstances de réalité ou d'imagînarité des deux points doubles, et comporteront le même degré de généralité que les calculs de la Géométrie analytique.

C'est par ces considérations qu'on introduit naturellement et sans obscurité la notion des points imaginaires. Il en est de même pour le système de deux droites imaginaires ; on regarde les deux droites comme les rayons doubles de deux faisceaux homographiques ayant le même centre, et ces rayons doubles se déterminent par une équation du second degré dont les racines peuvent éti'e imaginaires.

Ces divisions ^l faisceaux homographiques se présenteront dans «ne foule de questions, notamment dans toute la théorie des sections coniques; de sorte que l'on conçoit bien que dans cette théorie la notion des points et des droites imaginaires ne causera aucune

obscurité, aucun embarras. Par eseniple, qu'on demande de déterminer les points d'intersection d'une droite et d'ane conique non tracée, mais qui doit passer par cinq points donnés. On se servira de cette proposition que ; « Si autour de deux points fixes d'une conique on fait tourner deux droites qui se coupent toujours sur la courbe, ces deux droites forment, dans leurs positions successives, les rayons de deux faisceaux homographiques ( ' ). » Il en résulte que les deux droites tournantes rencontrent la droite proposée en deux séries de points qui forment deux divisions homographiques ; et l'on voit immédiatement que les points de rencontre de la droite et de la conique sont les points doubles de ces deux divisions, lesquels peuvent être imaginaires en vertu del'équation du second degré précédente.

On aura donc une idée parfaitement nette de ce qu'on doit entendre par les points d'intersection imaginaires d'une droite et d'une conique, et l'on saura déterminer le milieu de ces deux points et le rectangle de leurs distances à une origine prise sur la droite. Tous les résultats où n'entreront que ces deux éléments, le point milieu et le rectangle, subsisteront dans le cas d'imaginarité comme dans celui de réalité des deux points d'intersection.

Cette manière de considérer les imaginaires est tout à fait conforme à ce qu'on fait en Géométrie analytique. Mais ici les équations sont formées avec les données mêmes de la question, ce qui est le plus haut point de simplicité que l'on puisse désirer. En Géométrie analytique, au contraire, elles ont lieu entre des coordonnées introduites auxiliaire ment. Certes, ces coordonnées sont souvent d'un secours précieux; mais, employées mal à propos et sans nécessité, elles compliquent une question et n'en procurent qu'une solution indirecte, dès lors sans utilité théorique et dépourvue de cette netteté qui doit être le but constant des efforts du géomètre {').

(') J'ai démontré ce théorème, en premier lieu, sous un énoncé dilférent, dans un Mémoire sur la traasformaiion des relations métriques des figures (voir Correspondance mathdmaciqae e[ physique de M. Qiiételet, t. V, p. 2g3 et i^l\; année iSig); puis eoua l'énoncé actuel dans la Note X.V de V^perçu historique {p. 334-3.ii), où se trouvent diverses applications de cette propriété importante des sections coniques.

(') La méthode natiirelte se distingue par • cette clarté et cetls lacililé siiprfme

Notre seconde Section renferme les applications des trois théories fondamentales à la démonstration des propriétés des figures reclîlignes. On y trouve les propositions les plus utiles sur Je triangle, le quadrilatère et les polygones ; divers modes de description d'une ligne droite par points ; la théorie des transversales ; les centres des moyennes distances et des moyennes harmoniques ; des relations générales entre deux systèmes quelconques dépeints situés sur une même droite, d'où dérivent immédiatement diverses formules analytiques, notamment celles qui servent à la décomposition desfractionsralionnellescn fractions simples; une solution générale, par une construction unique, d'un grand nombre de questions fort diverses, parmi lesquelles se trouvent les trois problèmes d'Apollonius, de la section déraison, de la section de l'espace et de la section déterminée; problèmes qui, comme on sait, avaient donné lieu à trois Ouvrages du géomètre grec et dont la solution, chez les modernes, a toujours exigé plusieurs propositions. Ici un même principe de solution et une même construction s'appliquent immédiatement aux trois problèmes : cette construction est celle des points doubles de deux divisions homographiques.

On peut rattacher cette solution générale à des considérations analogues aux règles de double /ausse position ('}. La facilité et l'étendue de ses applications à une foule de questions fort difi'érenles semblent indiquer que les théories d'où cette solution dérive ne s'écartent pas des bases naturelles de la science.

qui, selon nous, doit se trouver dans les vraies MathémntîciuDs. u (DtsCAnTCB, Bègles yoar la direction de l'esprit; Régie quatrième.)

(*) Ici; où les questions traitées par cette méthode ont, en général, Jeux solutions, il faut trois lijpothèses au lieu de deux. On peut dire que c'est une règle de triple fausse position. Cetle luéthoile, fondée sur des considérations géométiiqucs, embrassa, comme cas par^enlier, la règle de double fausse position par laquelle on résout les équations du premier degré, et s'applique en outre à ta résolution de systèmes d'équations déterminéea du second degré h plusie BOlatioDS.

La troisième Seclion conUent la théorie, prise d'un point de vue très générai, des systèmes de coordonnées servant à exprimer par deux variables , qui sont des rapports de segments o« bien des rapports de distances d'un point à des droites fixes ou d'une droite à des points fixes, la position d'un point ou celle d'une droite ; puis la théorie générale de la transformation des figures soit en figures de même genre, appelées figures homographiqiies, dans lesquelles des points correspondent à des points et des droites à des droites, comme dans la perspective, soit en figures de genres différents, appelées figures corrélatives, dans lesquels des points correspondent à des droites et des droites à des points , comme dans la tliéorie des polaires réciproques.

L'exposition de ces méthodes générales et les applications que l'on en fait à diverses questions nouvelles pour la plupart reposent, comme toutes les parties de la seconde Section, sur les théories établies dans la première f ' ).

(') Ces ni«lhodi^3 géuéralcs de transfoi'tnatîon, appliquées aux fi|jures à trois dimensions, sont le sujet du Mémoire sur les principes de dualité ei d'/iomagrapliie, qui fait Buile à l'aperçu historique sur l'origine et te développement des méthodes en Géométrie, ia-ff. Bruïelles, 1837.

Je rapiiellerai ici, à raison de cette date de [837, 1"^ '^' Ouvra|;e, qui forme le tome XI des Mémoires couronnés de rAcadémie de Bruxelles, avait été adressé à cette Académie en janvier iS'io, au sujet de la rjueslion suivante : • On demande un phi phi] d d tr tes méthodes employées dans la Géométrie récente, t p t I è m t d 1 tl de des polaires réciproques. • Le Mémoire sur les d éth des d t f m t des figures, précédé d'une introduction historiqao

dp dtd tmti la partie la plus considérable de l'Ouvrage : et c'est q d t 1 lu être imp imé que j'ai donné h ia partie historique une plus g d t M 1 th tes sur lesquelles reposent les deux méthodes de

t f t 1 1 S d pport anharmonique dans les nombreuses appllca-

t d méll d (p g 57 -85i), ont la date de janvier i83o, époque où le

Mém et d se !i 1 A d raie de Bruxelles et A été le sujet d'un Rapport of-

El tm t d t Ouvrage (pages iiG-liS), des diverses méthodes de

t I m I d fg t 11 que celle de Newton généralisée par Waring, celle

d fag hmigq dM Poncelet, etc., qui rentrent dans la théorie des li-

g / ph j } p citer la méthode de coltii/ealion de M. M5biua qui

I ra( g t q ant géomètre a exposée dans son 1'raitc du Calcul

La quatrième Section traite des cercles. On y trouve d'assez nombreuses propositions, dont une partie se représenteront dans la théorie des sections coniques et dont on aurait pu par conséquent ajourner la démonstration. Mais j'ai vu plusieurs raisons de faire entrer, dès ce moment, ces propositions dans le développement des propriétés relatives aux cercles. Elles seront un utile exercice, qui convaincra le lecteur que les procédés de démonstration mis en usage avec tant de facilité dans la théorie des figures rcctilignes s'appliquent, avec non moins de succès, aux cercles el même aux sections coniques, car on s'apercevra bien que presque toujours Ses démonstrations resteront les mêmes pour ces courbes.

Cette théorie du cercle suffira donc pourrépandre naturellement, avant d'aborder l'étude des sections coniques, la connaissance d'une partie considérable des propriétés de ces courbes et surtout de celles que l'on néglige dans les Traités de Géométrie analytique.

Les jeunes géomètres dépasseront ainsi, sans travail pénible et au grand avantage de la Science, les programmes de l'enseignement classique devenus trop restreints.

Dans cette Section se trouve un Chapitre sur les cônes à base circulaire ; non que nous ayons eu l'intention de comprendre dans ce Volume une théorie de ces surfaces, qui, pour être traitée avec tous les développements qu'elle comporte, ne doit venir qu'après celle des sections coniques; mais ces propriétés des cônes se présentent ici d'elles-mêmes, parce qu'elles sont simplement une expression différente de propositions générales relatives à un système

ba'j'Cfatriqtte {Der baryceniFische Calcul, etc. ; Leipzig, 1827); ce que je n'ai su que Tort longtemps après lu publication àa VAperfa historique.

La partie historique de VJperçu (pages i-aSg) ot les fioles qui s'y rapportent (pages Ï71-559) ont été traduites en allemand par M. Solineke, professeur h. l'Université de Balle (Geschickte der Geomecrie, hauptsâchlich mit Besug auf die iieiiercn Meihoden, voa Chastes. Aus dem Framôsiichsn Ueèertragea durch D' t.-A. Sohnche ord. Profissnr der reiiien Mathematik ait der vereinten Friedriehs Universildt Halle- Witienberg. Halle, iSîg; in-8".)

de cercles : on suppose l'un de ces cercles imaginaire, comme nous l'avons dit précédemment.

Cette partie de l'Ouvrage initiera le lecteur, sans aucune étude spéciale, à la connaissance d'assez nombreuses propriétés des cônes à base circulaire et des coniques spliériques. Nous nous sommes cru d'autant plus autorisé à donner place à ce Chapitre sur les cônes, que cette théorie, qui forme un intermédiaire distinct entre les coniques planes et les surfaces du second degré et donne lieu à un ordre tout spécial de spéculations géométriques intéressantes, est aujourd'hui enseignée régulièrement dans l'Université de Dublin, où les études mathématiques prennent une extension remarquable (').

Nous ne pouvions omettre, en traitant du cercle, diverses propriétés du système de deux cercles qui se rapportent à la théorie des fonctions elliptiques et qui se recommandent surtout par un beau théorème de M. Jacobi, que Ton déduit de considérations plus générales. Ces propositions forment le dernier Chapitre de notre quatrième Section, par lequel se termine le Volume.

Le Discours d'inauguration du Cours de Géométrie supérieure de la Faculté des Sciences, dans lequel, en jetant un coup d'œil sur l'histoire de la Géométrie, j'ai présenté quelques considérations

(') Cette lliéoHc des cônes à base de dcuï Mémoires insérés dans le t( (annéa i83(.).

Un habile géomètre, M. GraTca, prefeBseiii' à rUniversiW de Dnbtin, a tvadnit ces deux Mémoires en anglais, et y a joint, outie des Notes et Additions, uti Appendice contenant l'application de l'Analyse à In Géométrie sptiériqae. L'ouvrage, édité aux frais de l'Université de Dublin, qui l'a jngé propre à inspirer aux jeunes mathématiciens le goût des méthodes de la Géométrie pure, est enseigné dans les cours annuels de cette Université. (It is lutended for ihe use of undergraduate sludents in tho University of Dublin; and, it Is hopcd, niaj be usefui in directing their prevailing taste for pure geomelry to intarestiog and worthy objects.) Voir : Two geometrical Meiaoirs on tke gtneral properties of cônes of the second degreeand on the spAerïcal coiiici, brM. Ckasles. Traiislaled from the french, with Noies and Additions, and an Appendia on the application of Analysis lo the spkerical Goinetij-, by the Rev. Charles Graves, A. M., M. It. I. A., feilow and tator of Trinitj Collège Dublin. Dublin, iS4l;in-S«.

qui so rattaclient au but de l'Ouvrage actuel ('}, sera reproduit à la fin du Volume.

perpétuel de l'Acndéniie de Naplea, M. Flauti,

cultive avec prédilection les doctrines de In Géométrie

1 exprimant son opinion sur les serrices qu'une chaire

pouvait rendre ans sciences motliématiques, de traduire en

ta ce Discours d'inaugurotion de la cbaire créée h la Fa-

{Comideriu'inni mita nuoi'a catsdra erelta nelta Faco/là

■a di Parigi per l'iiisegiiameiito délia Gecmecria superiore

nededma dé prof . ChasJes, cou Noce aggiimie.)

|')Le

savs

lUt géomèlre et

qui, cou.

l'illustre Fergolf

pure, noi

fait l'honneur,

de Géométrie

, supérieure pou

iuUen et

d'fl

urichir de isole!

culte des

Sci.

ences de Paris. (

dclle Sci<

;«ie

deir Aetademh

e Discors.

nperlara alla m