En écrivant (c) ainsi

on en conclut

Corollaires. — Dans ces deux équations (c et d} on peut supposer le point a' à l'injini, et elles deviennent

^'^> Oni~ 'Ôm' '^ OV

id') ^OI = Oi»'.

173. Qu'on remplace Oni' par(0;H -\- mm') dans l'équation (/>), elle devient

~Ô^i +[0,n — Ql\ min — o

Cette équation se conclut aussi de l'équation précédente {(')'), où l'on suppose le segment 00' nul.

17i. On peut encore exprimer les deux divisions par l'équation

En cil'ct, prenons l'tqualion (e) et éci'i\

ou, en désignant par I' le point tic la seconde division silué : l'infini,

Comme le premier membre est formé de deux rapports anliarmoniques, eetle équation a Heu quelle que soit la position du point 1 à distance finie, le point I étant son homologue dans la première division. Ainsi l'équation

ou l'équation (f), puisque 1 et I' sont deux points correspondants quelconques des deux divisions, exprime deux divisions liomographiques dont les deux points doubles se confondent.

a et a' sont deux points correspondants, et O le point de coïncidence des deux points doubles. Si ce point est à l'infini, les rap-

Om Om' , , I, . . ,,, . I .

ports 77—1 •,•■■,- sont égaux a 1 unité, et J équation devient

Vinsi, le segment compris entre deux points correspondants quelconques est de grandeur constante; il s'ensuit que a'm'^=am, c'est-à-dire que deux segments homologues des deux droites sont toujours égaux, ou, en d'autres termes, que les deux droites sont divisées en parties égales, une à une respectivement, et dirigées dans le même sens. Et, en effet, nous avons déjà vu que dans ce cas les deux points douLies sont situes à l'infini (166).