OP ~ \/OI.OO
l/équation s'écrit
Ôï' "ÔP "'' OJ' \W "~ oe )~^'~*'' ce qui donne
tang OPin . tiuig OPm' -h -- { taiigOP/'i — tang OP(h') -)- r = o,
-tiingOP/H.tan^Ut'/i
112 TKAITE DE GEOMETEIIK SlPLRIEtlRlî. — CI1APIIHE VIII.
Le premier memhi'e esl égal à
tung{OP//i'— OPw) = tAngwP/i/, et le second à langOIP; on a donc
anglemPm'r=;mgleOIP = i:<mst.;
ce qui démontre le ihéorèmc.
Autremenl. Quand dans deux faisceaux homogi'aphiques les
iingles formés par trois couples de rayons homologues sont égaux et dans le même sens de rotation, il en est de môme des angles formés par tous autres rayons homologues. Ainsi A, B, C, D étant quatre rayons du premier faisceau et A', B', C, D' les rayons homologues du second faisceau, si les trois angles (A, A'), (B, B*) et (G, C) sont égaux el formés dans le môme sens de rotation, à partir de leurs origines respectives (6), le quatrième (D, D ) sera égal à ceux-là el formé dans le même sens de rotation.
En effet, en faisant tourner le second faisceau autour du centre commun, on pourra faire coïncider les trois rayons A', B', C avec leurs homologues A, B, C respectivement, et, par conséquent, deux autres rayons homologues quelconques D, D' seront aussi coïncidents.
Gela posé, menons par le point P, déterminé, comme il a été dit, par la relation 0P = v'01.00', la parallèle Pos à la droite 01. Le point P est le sommet de deux faisceaux h omo graphique s déterminés par les deux divisions proposées. Les rayons PO, Phj, PI et Poe du premier faisceau ont pour homologues dans le second PO', Pffï', Pk> el P.T", prolongement de PJ'. Les deux angles IP ce et ce PJ" sont égaux et dans le même sens, parce que les deux points I et J' sont à égale distance du point 0. L'angle IPoo es! aussi égal à l'angle OPO', car l'expression de OP donne
ce qui prouve que les angles OPO' et OIP sont égaux. Or celui-ci esl égal à IPw ; donc les angles IPoo et OPO' sont égaux, et il esl évident que ces deux angles sont dans le même sens. Ainsi les trois angles que les trois rayons PO, PI etPoo du premier faisceau font
DKUX. D1VISI0T4S HOMOGRIPHIQUES SUR JiTiE DROITE. Il3
avec leurs homologues PO', Pso et PJ" respectivement sonL égaux et dans le même sens, et par conséquent l'angle mVm', formé par deux autres rayons homologues quelconques, est égal à ceux-là et dans le même sens. c. q. f. d.
178. Les points doubles des deux divisions lio m o graphique s que nous considérons ont pour milieu le point O et pour carré de leur distance à ce point le produit 00'. OJ' (161) ou — OO'.OI^^- — OP , de sorte que ces points (imaginaires) ne dépendent pas de la grandeur de l'angle sous lequel on voit du point P les segments aa', bU , etc., mais seulement de la position de ce point. On conclut de là ce théorème singulier, qui aura des applications :
Si, autour d'un point P comme sommet, on fait tourner un angle (A, A') de grandeur constante, ses deux côtés marquent sur une transversale fixe deux divisions homo graphiques qui ont toujours les mêmes points doubles [imaginaires), quelle que soit la grandeur de l'angle (A, A').
179. Trois segments sur une même droite, aa', bb' , ce', déterminent deux divisions homogi-aphiqucs dans lesquelles a, b, c seront trois points de la première et a', b', c' les trois points correspondants de la seconde. Quand les points doubles de ces deux divisions sont imaginaires, 11 existe, de part et d'autre de la droite, un point P d'où l'on aperçoit les trois segments sous des angles égaux (l"??). Par conséquent, on conclut de ce qui précède une solution très-simple de cette question ;
Etant donnés trois segments aa', bb', ce' sur une même droite, trouver un point d'où on les aperçoive tous les trois sous des angles égaux.
g V. — Cas particulier des divisions homo graphiques sur une même droite. Divisions en involution.
