DEUX FAISCEAUX HOMOGBAPHIQUES DE MEME CENTRE
dans la lliiîorie des sections coniques. Elles se rattachent à la théorie de Yinvolution, que nous allons bientôt exposer, et nous les appellerons alors divisions homographiques en involulion.
g VI. — Faisceaux homo graphique s qui ont le même centre. Rayons doubles.
182. Ce que nous avons dit des deux points doiibles de deux, divisions Iiomograpliiques superposées doit s'entendre des rayons douhlef de deux faisccaus homographiques qui ont le même centre.
Il existe dans les deux faisceaux deux droites, dont chacune, considérée comme appartenant au premier faisceau, est elle-même son homologue dans le second. Ce sont ces deux droites que nous appelons les rajons doubles des deux faisceaux.
Cela est évident, car, si l'on mène une transversale quelconque, les deux faisceaux détermineront sur cette droite deux divisions homographiques qui auront deux points doubles par lesquels passeront les deux j-njons doubles des deux faisceaux.
En désignant par E, F ces deux rayons, on peut exprimer l'homographie par l'équation
=:niv '.vi'i
Mp[E,Ml ,s
in(E,M'l
sin(F,M) si
sin(E,Mj,s
(F,M)'sin(F,M']
on dira que ; Deux rajons homologues quelconques font a\'ec les deux rayons doubles un rapport anharmonique constant.
Lorsque les deux rayons doubles sont rectangulaires, l'équation devient
tang[E,M) = ).tang(E,M'}.
183. Supposons, clans l'équation générale du n" ISi, que les deux rayons B', D', qui sont arbitraires, coïncident respectivement avec les deux A et C, et appelons I et J' les deux rayons qui correspondent, dans la première et la seconde division respecli-
lllj TRAITÉ DE GÉOMETniB SDPERIEDRE, — CHAPITRE Vlll.
\cment, au même rayon C considéré comme apparlenant successivement à la seconde et à la première division, ce qui se réduil à remplacer D et G' par I et J'; l'équation devient
sin{A,M} siH(A,M') sin(A.J'l sm{A.M) sin(C,M) siu[C,M') sin(C,J') sin(C,M) sin(A,Il sin(A.M'] sin(A.I) sin(A.AM ~sin[C,l] sm(C,M'j"'" sin[C,I) sïir(C, A') ~"'
Les rayons doubles des deux faisceaux se détermineront par Féqua-
rgi n(A,M)T- pin{A,l) sia(A. J')-|sin(A.M) siD[A.I) sinfA,A')^ Lsin(C,W)J Un(C,I) sin[C.J)|siD(C,M)"^sin(C,I)sin(C,A') "
184, Les deux rayons fixes A, C sont pris arbitrairement; le second peut êlre perpendieidalre au premier; on en conclut que l'homograpbie de deux faisceaux s'exprime par l'équafion
t!mg(A,M) tang[A,M') — tang{A, J') tang[A,M) — taDg(A, I) tang(A,M') -H limg[ A, A') tang (A, I) = o,
et les rayons doubles sont déterminés par la suivante :
tEmg=i;A,M) — tang[A,JI) [tang(A,J') + tnng(A,I)] + tang (A, A') tang (A, I) —-
185. Substituant à la droite A sa perpendiculaire C, on exprimera rhomograpliie par l'équation
cot(C,M]cot(C,M') — cot(C,J')cot[C,M) — cot(C,I) cot[C,M') -1-cot [C, I) col[C,A') = û.
G est une droite fixe quelconque; cette droite, considérée comme rayon du premier faisceau, a pour homologue dans le second faisceau J', et, considérée comme rayon du second faisceau, a pour bomologue dans le premier I; A' est, dans le second faisceau, l'homologue du rayon du premier faisceau perpendiculaire à la droite C.
Les rayons doubles se déterminent par l'équation
coi'(C,M] — [cot{C,I)-i-cot[G,J')]cot(C,M)-*-cot(C,I)coi(C,A') — o.
yGoosle
g VII. — Propriétés de denx faisceaux homographii^es dont les laycns doubles sont imaginaires.
186. Deiiœ faisceaux homographiques de même centre, dont les rayons doubles sont imaginaires, peuvent être considérés comme étant la perspective de deux faisceaux dans lesquels les rayons homologues font entre eux des angles égaux et dirigés dans le même sens de rotation.
En eiFet, coupons les deux faisceaux par une transversale quelconque L ; on aura deux systèmes de points a, h,c\ . . . , a', h' , c', . . . , formant deux divisions homo graphique s qui n'auront pas de points doubles ; par conséquent, on pourra déterminer un point P d'où l'on verra tous les segments na', bb' , ce', . . ., sous des angles égaux al?a' , bPb', . . . (177). Que l'on fasse tourner le plan de ces angles autour de la droite L, de manière à élever le point P en P' au-dessus de la figure, et que l'on conçoive la droite menée du centre commun O des deux faisceaux proposés au point P'. 11 est clair que, pour un œil placé en un point quelconque de cette droite OV, même à l'infini, les angles «P'rt', èP'ft', . . - , égaux entre eux et formés dans le même sens de rotation, seront les perspectives des angles aOa', bOh', ... ; ce qui démontre le théorème.
La projection pourra être faite sur tout autre plan parallèle au plan ( P', L }, ce qui permettra de placer l'œil au point P' lui-même.
187. Considérons deux faisceaux homographiques formés par les deux, côtés A, A' d'un angle de grandeur constante, tournant autour de son sommet. Les rayons doubles de ces deux faisceaux, qui sont imaginaires évidemment, se déterminent par l'équation générale (183). Ici cette équation se simplifie, car on a [f'g- 3o)
angle(C, I) = -- ansle[ A, A'}, anj;le(A, I).^- ~ angie(C, A'), angle(C,J')— angle ( A, A';, et l'équation devient
r8in(A. M)T 5in(A.T') — s:li(A,I) sm(A.M) Un(C,M)J " sin("A,A'y " sin"(C, M) ^ "" "■
yGoosle
1 l8 TItALTE DR SEOMETnlIi su PEU 1 El' RE. — CHAPITRE VIII.
Oi-
siii (A, J' ) — sin ( A, I ; =--= Bin (AC H- CJ' ) — sm(AC — IC) =zSLn(AC--i-AA') — sin(AC — AA')~2cosAG.sinAA'.
L'équation devient donc
sIn(A,.\i)
