CHAPITRE IX
^ I. - Inirolutioii de six points. Relations entre ces points.
188. Définition. — Quand trois systèmes de deux points conjugués, situés sur une même droite, sont tels, que (jual.re de ces points, pris dans les trois systèmes, aient un rapport anharmonirjue égal à celui des quatre points qui leur sont conjugués, nous dirons que les six points sont en involution.
Ainsi, soient «, a' \ b, V et c, cf les trois systèmes de deux points qui se correspondent ou sont conjugués deux à deux, savoira et a', h et h' , c et d; si un rapport anliarmonique de quatre de ces points, tels que a, b, c et </, est égal à celui des quatre points conjugués a', b' , c' et c, ces six points seront dits en inuolution .
489. Quand six points conjugués deux à deux sont en insolation, de quelque manière qu'on en prenne quatre appartenant aux trois couples, leur rapport anliarmonique sera toujours égal à celui de leurs conjugués.
Soient les trois couples de points conjugués a, d\ b, b' etc, d ; il faut démontrer que, si le rapport anharmonique de quatre de ces points, tels que a, h, c, c', est égal à celui des points conjugués respectifs a', b', c', c, il en sera de môme pour tout autre système de quatre points, pris dans les trois couples, comparés à leurs conjugués.
On formera un autre système de quatre points en changeant soit
lïO TRAITE r>E &EOHETRIB SUPERIEURE. -
l'un des points c, d en d ou h' , soit l'un des points a, h en son conjugué.
i" Si l'on change c'en a', on aura le système a, b, c, a' comparé à a, b', c', a. Je dis que les rapports an harmoniques de ces deux systèmes de quatre points sont égaux. En effet, les deii\ systèmes
ot leurs rapports anharmoniques égaux, on a
et, en introduisant dans les deux membres le segment a'n à la place du segment c'a,
a'c hc ac ^ h'c ^ ■ 6« ■" i^' ■ ÏV '
équation qui prouve que les quatre points a, h, c, a' ont leur rapport anharmonique égal à celui de leurs conjugués n' , h', c', a.
a" Si l'on change l'un des deux points a, h en son conjugué, par exemple b en b', on aura les deux systèmes a, V , c, d et «', h, d, c; je dis que leurs rapports anharmoniques sont égaux. En effet, l'égalité des rapports anharmoniques des deux systèmes (I, b, c, d et a', b', d, c s'exprime par l'équation
Or on peut écrire
et, sous cette forme, l'équation exprime que les quatre points a, V, c, d ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre n', b, d, c. Le théorème est donc démontré.
190. Quand trois sjstèmes de deux points conjugués a, d : b, b' et c, d sont en involution, il existe entre ces points les sept éfiuations suivantes ; et, réciproqueinent, chacune de ces équations
INVOLCTIOff DB SIX POINTS.
exprime V involution et comporte les six autres :
En effet, chacune de ces équations peut s'écrire de manière à exprimer que le rapport anharmonique de qualre des six points est égal à celui dos quatre points conjugués. Or cette égalité a lieu, puisque, par hypothèse, les six points sont en involution. Donc les équations sont vraies.
Réciproquement, chacune de ces équations exprime, en vertu de cette égalité des rapports a nharmo niques, que les six points sont en involution (188), et, conséquemment, comporte les six autres, d'après le théorème (189). Donc, etc.
191, P/emière remarque. — Chacune des équations {a) s'écrit de deux manières, sous forme d'égalité de deux rapports anharmoniques, et chacune des équations (b) de trois manières.
Ainsi, la première des équations (a) s'écrit ah a'h a'b- »b'
ce qui exprime que les quatre points a, h, c, anharmonique égal à celui de leurs conjugués a
r rapport
ce qi anhs
exprime que les quatre points a, h, </, a' ont leur rapport unique égal à celui de leurs conjugués a', h', c, a. Pour les équations [h], prenons la seconde, ab'.be.ca'= — a'b.b'c'.ca.
123 TR.UTÉ DE GEOHBTftIE SUPÉniEDRE.
Cl introduisons dans les deux membres le facteur aa' ; l'cquatioi
ce qui exprime que les quatre points a, b, c, a ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre a!, b', c', a.
Pareillement, en introduisant le facteur iè' dans l'cquation, on l'écrit de manière à exprimer que les quatre points a, b, c, h' ont leur rapport anharnioniqiie égal à celui de leurs conjugués rt', h' , <.■', b.
Et enfin, si l'on introduit le facteur ce', l'équation exprime que les quatre points a, b' , c, c' ont leur rapport anliarmonique égal à celui de leurs conjugués a/, b, c', c ( ' ),
192, Deuxième remart/ue. — On volt aisément comment se forment les équations [a) entre liuit segments. Pour former les équations (&] entre six segments, on prend un segment tel que ah ; puis le segment compris entre le conjugué b' du point b et un des deux points du troisième couple, tel que b'c ; puis le segment compris entre le conjugué c' du point c, et le conjugué a' du point du premier couple. Le produit de ces trois segments ah. b'c. c'a' forme le premier membre de l'équation; et, pour former le second membre, il suffit de changer les accents et le signe de ce premier produit, c'est-à-dire qu'on ôte les accents aux lettres qui en ont, et qu'on en donne aux lettres qui n'en ont pas; on a ainsi a'b'.bc' .ca avec le signe — .
193. Quand deux segments sont placés de manière que l'un se trouve en partie sur l'autre, et en partie au dehors, nous dirons qu'ils empiètent l'un sur l'autre.
Quand trois segments aa', hb', ce' sont en involution, si f.'iin
(') Quand on introduit dans l'équation un facteur tel que ce', ce sont les d pointa a, b' du segment où n'entrant pas e et e', dans le premier membre, qui raeront avec c et c' les quatre pointa qui ont leur rapport an harmonique égal à c de leurs conjugués. Pareilleiuent, quand noue avons introduit le facteur aa\ ce s les deux points b, c du segment hc où n'entrent pas a et a', dans le premier meml qui ont formé avec a et a' les quatre points qui ont leur rapport anbarmonique < n celui i!o leurs conjugués.
INVOLTJTION DE SIX POINTS. rïî
d'eux empiète sur un auti-e, il empiète également sur le troisième. En effet, si aa' empiète sur hb' , l'un des points a, a' sera sur le segment hb' lui-môme, et l'autre au dehors ; conscquemment les deux produits ah . ah' et dh . a' h' seront de signes différents ; donc, d'après la première des équations (n), les deux produits
ac.ac' et a'c.dd seront aussi de signes différents; ce qui prouve que l'un des deux points a, a' est sur le segment ce' et l'autre au dehors, ou, en d'autres termes, que le segment aa' empiète sur ce'. Il suit de là naturellement que, si le segment aa' n'empiète pas sur hb', il n'empiétera pas non plus sur éd.
g II. — Cas particuliers de l'involution de six points.
194. Les quatre points a, a', h et h' étant donnés, le point c peut être pris arbitrairemenl, et la position de son conjugué c/ se détermine par l'une des sept équations {a) et [h).
L'indétermination du point c donne lieu à deux cas particuliers dans lesquels les relations d'involution ont lieu entre cinq points seulement, au lieu de six : c'est quand le point c est pris à l'infini ou bien quand ce point coïncide avec son conjugué c'.
193. Supposons le point c à l'infini, et appelons 0 le poi jugué c'; les équations deviennent
11 est facile de vérifier directement que chacune de ces équations exprime que le point O forme, avec les deux couples a, a' et h, h' une involiilion dans laquelle le conjugué de ce point est à
ah
.ab'
ab
On'
Oit
Ob'
~ ba''
i'intîni, et fjiie chacune des équations comporte toutes les autres. Prenons les trois équations de forme différente
La première s'ccrîl
ou, en désignant par O' le point situé à l'infini,
On . O'rt OV O^ ~Ôb ■ ÏFÏ ~ Wb' ■ ol? '
Cette équation prouve que les quatre points a, b, O, O' ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre a', b\ (y, O, et, par conséquent, que les trois couples «, a'; i, V etO, 0' sont en involution.
Il s'ensuit que l'on a
O'O hO 00' h'0'
^■^' 0''^'- TTi ^ 'cû? • b'ci '
Qa' a'h' Ob~ ba '
:e qui est l'équation (a).
Pour obtenir l'équation (3), remplaçons dans l'équation (4) le
