a.aa' = ilh.ill
Mais de cette éqiiallon on conclut
ah. ah' lia
on a donc -^ :=——;, ce qui prouve que le point ii n'est pas autre
que iepointO. Ainsi, l'équation (i) est une conséquence de l'équation (3), et, par conséquent, l'équation (a) s'ensuit aussi.
197, L'équation Ç)a.Oa'= Ob.Ob' fait voir que, si les deux points o, a' sont d'un même coté du point O, auquel cas les deux
serments 0«, Oa' sont de même signe, il en est de même des deux points h, h' , et que, si les deux points a, a' sont situés de part et d'autre du point O, il en est de même encore des deux points 6, b'.
D'après cela, si les deux segments ad , hV empiètent l'un sur l'autre, le point O est nécessairement situé sur la partie qui leur est commune, car, s'il était situé au delà des deux segments, l'un des deux produits Ofl.O«', Oi.Oi' serait plus grand que l'autre.
Si l'un des deux segments est entièrement sur l'autre, le point O est évidemment au delà des deux.
Enfin, si les deux segments n'ont aucune partie commune, le point O est situé entre les deux, car il ne peut être sur l'un des deux, parce qu'alors les deux produits n'auraient pas le même signe , el il ne peut être au delà des deux segments, parce que l'un des produits serait évidemment plus grand que l'autre.
INVOLtTlON DE SIX POIKTS. 127
198. Supposons que les deux points c, </, qui formenl avec les deux systèmes a, a' et b, è'unc involution, coïncident en un seul, que nous appellerons un point double de l'involation; désig^nons ce point pare; nos sept équations se réduiront aux quatre suivantes :
ab.ab' ^
ha . ha' he
b'e.ea! = — a'h- .be.ea,
Chacnne de ces équations exprime que le point e forme avec les deux systèmes a, i/ et Ô, V une involution dans laquelle le conjugué de ce point coïncide avec ce point lui-même. La position des
points qui jouissent de cette propriété est déterminée par chacune des quatre équations, lesquelles, étant du second degré, donnent deus, solutions, c'est-à-dire deux positions du point e. H existe donc deux points doubles de l'involution.
199. Le premier de ces deux points restant désigné par e, appelons y le second; on aura
Par conséquent,
Nous donnons le signe — au second membre, parce qu'avec le signe 4- les deux points e,yseraicnt nécessairement coïncidents, ce qui n'a pas lieu.
be
Ces relations prouvent que : Les deux points dont chacun coïndde avec son conjugué divisent harmoniquement chacun des deux spgments a a', bb'.
La détermination de ces deux points doubles dépendant d'une équation dii second degré, ils peuvent être imaginaires; ce qui a lieu quand les deux segments aa\ hV empiètent l'un sur l'autre, comme on l'a vu dans la théorie du rapport harmonique (63),
200. Réciproquement: Si deux points e, f divisent harmoniquement à la fois deux segments aa', bb', chacun de ces points formera avec les deux couples a, a' et b, b' une involution dans laquelle ce point sera lui-même son conjugué.
En effet, on aura les deux équations
d'où l'on déduit
ah,b'c.ea'—- — a'b'.be.ea, ce qui est l'une des équations ((?). Donc, etc.
201. Le point e peiil être à l'infini; alors les équations [d] deviennent
ab.ab'^a'b.a'b',
ba.ba' =:z b'a.b'a' ,
ab == b'a', ab' zzn ba' ,
INVOUTION DE SIX POINTS. lîQ
cL le second point /se Irouve au milieu de chacun des deux segments art', bb'.
On vérifie aisément que les deux couples de points a, a' eL h, b' font une involution soit avec le point e à l'infini, soit avec le point/", car la première équation, par exemple, s'écrit
ce qui prouve que les quatre points a, a' , h, « ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points a', a, J', oo . Donc les deux couples a, a! et b, b' et deux points coïncidents à l'infim forment une involution.
De même à l'égard du point/; car, puisque af^- — a'f, la même équation se peut écrire
a'b-a'f ab' " «/'
ce qui prouve que les quatre points a, a', h, font leur rapport anliarmonique égal à celui des quatre a', a, b', f, et, par conséquent, que les deux couples a, a' cib, h' et deux points coïncidents enysont en involution.
§ III. ~ Propriétés de six points eu involution. Point central. Points doubles.
