Le point O délcrminé par !a relation

Oci.Ou'-^Ob.Oh'

forme avec les deux couples a, a' et b, b' une involution dans laquelle le conjugué de ce point est à l'infini (193). Donc, d'après le théorème qui vient d'être démontré, ce point jouit de la même propriété îk l'égard des deux couples A, b' et c, c' , et satisfait, par conséquent, à l'équation

Ob.Ob' ^Oc.Oc'.

On a donc ce tiiéorème général :

Quand trois systèmes de deux points sont en involution, il existe toujours un certain point dont les distances à deux points conjugués quelconques donnent un produit constant.

Nous appellerons ce point remarquable le point central de l'involution. C-e point central iorutanl avec deux quelconques des trois couples de points une involution dans laquelle son conjugué est à l'infini, il existe entre ce point et deux quelconques des trois couples en involution toutes les relations exprimées par les équations [c) (195).

204. Réciproquement : Quand trois couples de points a, a'; b,

b' ; c. c' sont lias par les relations

Ofi. Oa' = 0 6. Oi' :-----: Oc. Ot',

ces six points, conjugués deux à deux, sont en iniioliuioJi.

Cette réciproque dérive immédiatement de la proposition directe , car, si le point c' ne formait pas avec les cinq autres a, a', h, b' et c une involution, il existerait un autre point c" qui ferait l'involuljon, et l'on aurait, à l'égard du point O déterminé par Féijfiation

cette seconde relation

d'où l'on conclut

Donc les sis points a, a', h, b', c, c' sont en involution.

Autrement. Appelons O' le point situé à l'infini; l'équation Oa.Oa' ^^ 06.0 ^'prouve (195) que les trois couples «, a'; b,b' eX. O, Csont en inyolution. Pareillement, l'équation Oa.Oa'^^Oc. Oc' exprime que les trois couples a, a'; c, c' et O, 0' forment une involution. Donc, d'après le théorème (202), les trois couples a, a'; b, b' elc, c' forment une involution. c. q. r, o.

Autrement. L'équation Oa.Oa'-.^Ob .01' donne ('196)

0« iib

L'équation Oh.Oh' ^ Oc.Oc' donne parcillcmciH.

Ob' b'c Oc'~7V

al'équation Oc.O,;' ™ 0«.Ort'

Multipliant ces trois équations membre à membre, on a

|32 TaVIIÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — CHAPITRE IX.

équation qui prouve que les six points a, a' ; h, h' et c, c' sont c involution. c. q. f. ii.

On peut aussi déduire des égalités proposées les équations d'il volution à finit segments.

EueHe(,ona

0«__ ah (),-/ "//

Ôc,~ ah.„l.'

iib.Ol,' a-O.a'h'

Pareillement,

0«' at.ac' 'Ô'c.O€'~ a'c.a'^'

Or

on en conclul

L donc

nh.ab' ac.ac' a'b.a'h' <i'c.a'c'

ce qui est une des équations [a) k huit segments (190).

205. Ohseri>ation. — La propriété du point central (203) caractérise d'une manière très-simple le système de six points en involution. Toutefois, celle propriété ne me paraît pas être la plus propre à définir l'invohition, parce qu'elle repose sur la considération d'un point étranger au système des six points dont il faut exprimer les relations mutuelles , tandis que, par la notion du rapport anharmonlque, on exprime immédiatement ces relations, en Déconsidérant que les six points eux-mêmes. Une autre raison peut nous porter à écarter la définition résultante de la propriété du point central ; c'est que cette propriété est rarement celle qui donne lieu aux applications de la théorie de l'involution, applications qui se présenteront fréquemment dans la recherche des propriétés des figures rectilignes, et surtout dans la théorie des seclions coniques,

206. Si sur deux segments aa', l)b' on de'crit deux circonje-

■1 Os

•Os

Or

Ofl.Oo'z

Ob'.

donc

Os' =

c'est-à-

(lire

f[iic les de

■us points ,

coï

II suit tie lù <j

ine:

IXVOUITION DE SIX POISTS. |33

rences de cercle quelcon<}ues, leur corde commune passera toii' Jours par le point central O.

En effet, soit g l'un des points d'intersection de ces deux circonférences; je dis que la droite Og passe par leur second point d'intersection, car, si l'on désigne par g' et g" les points où celte droite rencontre les dews circonférences, on aura

cident. Donc, etc.

Si sur t7-ois segments en involution on décrit trois circonférences de cercle passant par un même point quelconque, ces circoriférences passeront toutes trois par un second point, et leur corde commune passera par le point central de l' involution.