On conclut encore que

Les circonférences décrites sur trois segments en involution pris pour diamètres passent toutes trois par deux mêmes points.

En effet, les cordes communes à ces circonférences prises deux à deux passent toutes trois par le point central (206), mais elles sont perpendiculaires à la droite sur laquelle sont situés les trois segments; donc elles coïncident. Donc, etc.

209. Les points d'intersection des trois circonférences peuvent être imaginaires, ce qui aura lieu si les segments n'empiètent pas l'un sur l'autre; on dit alors qu'elles ont le même axe radical.

Ou bien, si l'on veut spécifier ce cas par une propriété qui lui est propre, on dira que :

Les tangentes menées du point centi'al aux trois circonférences sont de même longueur.

lïi TnAirii DF GÉOMÉTRIE SUPERIEURE. — CHAPITRE !X.

210. Quand les trois circonférences décrites sur les trois serments aa' , bh' , ce' comme diamètres se coupent, les droites menées d'un des points d'intersection aux extrémités de chaque segment sont rectangulaires ; on peut donc dire que :

Quand troia segments en ligne droite forment une involution. il existe deux points {réels ou imaginaires) de chacun des^ueh on -voit les trois segments sous des angles droits.

D'où il suit, réciproquement, que :

Si un angle droit towne autour de son sommet, les segments <juil intercepte sur une droite Jixe, dans trois quelcoufjues de ses positions, ont leurs extrémités en involution.

m. - Points doubles.

21 1 . Considérons maintenant les deux points e, f, dont cliacun forme avec les quatre a, a' et h, b' une involution de cinq points dans laquelle ce point e ou/'coïncide avec son conjugué (198). D'après la proposition (202), ces deux points jouissent de la même propriété à l'égard des deux systèmes fi, &' et c, c'. Donc ils divisent harmonîquement à la fois les trois segments «</, ^&', et/ (199). On a donc ce théorème :

Quand trois systèmes de deux points a, a'; h, b' et c, c' sont en i/ifolutioUj il existe deux points [réels ou imaginaires) qui difisent harmonit/uemenl les trois segments aa', Lb', ce'.

Nous avons appelé ces deux points, dont la considération sera souvent utile, les points doubles de l'involution (198).

Il existe entre chacun de ces points et deux quelconques des trois couples de points en involution toutes les relations exprimées par les équations [d) (198), et chacune de ces équations pourra servir pour déterminer les deux points en question.

212. Les deux points doubles sont départ et d'autre et à égale distance du point central.

En effet, le jioint e formant une involution avec les quatre a, a' et b, b', on a

INVOLUTIOX DE SIÏ POIXTS. l35

<;l pareillement à l'og'ard du pointy; donc

Ôë'— O/', Oe — — 0/

11 est clair qu'il faut prendre le signe ■ — , puisque avec le signe -h Ics deux points e,fse confondraient. Les deux poiiils sont donc, de pari et d'autre du point O, à égale distance de ce point.

La relation Oe =^ Oa.Oa' montre que ces deux points seront imaginaires quand le point O se trouvera sur les segments aa', hh' , ce qui a lieu quand ces deux segments empiètent l'un sur l'autre (197).

Au contraire, les deux points doubles sont réels' quand deux segments sont compris l'un sur l'autre ou n'ont aucune partie com-

213. Les points doiiblex de l'involution à bujuella appartiennent las deux couples de points conjugués a, a' et h. h' forment une involution de six points avec les deux couples a, h' et a' , h.

En effet, on a les deux équations

ea' .eb a'h fa'./b a' I, *

Donc

ct<.eh' fa.jV ca'.eb ji.fh'

ce qui exprime que les trois segments ab' , a'h el e/'sonl en involiilion.

Aalrement. Les deux points fi, f divisent liarmoniquemcnf chacun des deux segments aa' ^ hb' ^ de sorte que Son a

Donc

o^aj^b'/,!./ rj'ay ï'e-be'

ce qui prouve que les quatre points «, n', c, f ont leur rapporf anliarmonique égal à celui des quatre points b', b,f, e. Donc les trois couples a, b'\ a', h et (?,yforment une involulion.

130 TRAITE DE GEOMETRIE SUPERIEURE. — ClUPITRE IX.

Ce que nous disons des deux segments ah', a'b s'enLend des deux ah, a'U; de sorte que les deux points e, y appartiennent, comme points conjugués, à deux involutions différentes, dans chacune desquelles les quatre autres points sont a, a, h, h', mais accouplés différenimcut.

§ IV. — Construction du point central, des deux points doubles et du sixième point d'une involution.

214. Deux systèmes de points conjugues a, a' et b, V suffisent pour déterminer le point central et les deux points doubles d'une involution (203,211).