I. — Construction du point centra
Si les deux segments rtrt', bb' empiètent l'un sur l'autre, on pourra décrire sur ces segments comme diamètres deux cercles dont la corde commune déterminera le point central (206).
Si les deux segments n'empiètent pas l'un sur l'autre, on mènera par un même point quelconque g, pris au dehors de la droite ah, deux cercles ayant pour cordes respectives les deux seg-ments aa', hV . Ces deux cercles se couperont en un second point g', et la droite g^ déterminera sur ah un point O qui sera le point central,
Aatremant. Le point O est déterminé par l'équation
01?- ba' ^^^'^
Par conséquent, si l'on mène par les points a &\. h deux droites parallèles «k, hZ, égales respectivement aux deux segments aV , hd , la droite aS qui joindra leurs extrémités déterminera le point O.
Les deux segments aa., hê seront pris dans le même sens ou en sens contraires selon que les deux ab', ba', auxquels ils sont égaux, seront eux-mêmes dans le même sens ou en sens contraires.
Cette construction est toujours praticable, quelle que soit la position relative des deux segments aa', bb'.
SIÏ POINTS. l37
iKT ceutral, — De l'équaiion
el, en appclanL a, ê les milieux des deux segmenis u
PareiilemenL
On a
Ces expressions de nO et iîO permettent de supposer les deux points i, b' imaginaires. Nous donnerons plus loin (223) une construction du point O qui s'applique au cas où les deux points a, d sont aussi imaginaires.
H. — Constiuction des deux points doubles.
216. Nous avons vu (2H) que les deux points doubles se peuvent déterminer par chacune des équations (rf) (198). La première donne
ae __ ^ sjTbyib-
Il s'agit donc de diviser le segment aa' en raison donnée. On mènera par les points n, a' deux droites parallèles ah, a'h', égales respectivement à \Jab.ab' et \Jdb.a'b'; la droite qui joindra leurs extrémités marquera le point e, et, si l'on prend a'k" égale
i:i8 TRAITE DE GEOMETRIE SUPISRIEDItE. - CHAPITRE IX.
il rt'/.', mais en sens conlraire, la droite hh" marquera le point /.
Pour déterminer les longueurs des deux lignes ah, a'h', il suffira de décrire sur le segment hb' comme diamètre une circonférence de cercle et de mener par les points a, d soil les tangentes à cette circonférence, soit ses demi-cordes perpendiculaires au diamètre hh' .
Si les deux segments ad, hh' empiètent l'un sur l'autre, l'un des deux produits ah.nb\ dh.a'b' est négatif, et l'expression
de -y- imaginaire; la construction n'a plus lieu, et les doux points
chercliés sont imaginaires.
Dans tous les autres cas, même quand un des segments art', hU o\\ tous les deux sont imaginaires, les deux points e,^sont réels.
autrement. Par un point g pris arbitrairement, on mènera deux cercles ayant pour cordes respectives les deux segments ah', a'h. Ces deux cercles se couperont en un second point g'. Par le même point ^^ on fera passer deux autres cercles ayant pour cordes les deux segments ah, a'b', lesquels se couperont en un autre point g". Le cercle mené par les trois points g, g", g" passera par les deux points cherchés e,y.
En effet, les trois segments ah', a'b et «/"sont en involulion (213). Il s'ensuit que le cercle mené par le point g et ayant pour corde le segment ef passe par le point d'intersection g* des cercles qui ont pour cordes les deux segments ah', a'h (207). Pareillement, ce cercle passe par le point g". Donc, etc.
Si le cercle déterminé par les trois points g, g', g" ne rencontre pas la droite ab, les deux points doubles seront imaginaires.
Autrement. Sur les deux segments ab' etn'h comme diamètres on décrira deux circonférences, et sur les deux segments ah, a'b' deux autres circonférences; par les points d'intersection de ces deux-ci et les points d'intersection des deux premières on fera passer une circonférence, laquelle déterminera les deux points e,J. Cela résulte de ce que les trois segments ah', a'h et c.fsùnl en involutîon, ainsi que les trois ah, dV et ef.
217. Remarque. — Quand les deux points doubles sont imaginaires, il existe une certaine différence enti'c cette dernière construction et la précédente. Dans celle-ci, le cercle qui déler-
SIS POINTS. iSj)
mine ics deii'i poinls cherchés csl toujours coiislrucLiblc ; mais il peut ne pas rencontrer la droite «n', ce qui arrive quand ces points sont imaginaires. Bans la seconde construction, le cercle qui doit déterminer ces deux points cesse d'être constructible quand ils sont imaginaires.
218. Segmehts relatifs Atx roiKTS doubles. — Après que l'on a construit le point central, on peut déterminer les points doubles par les expressions
Oc = zh v'O-i.Oa',
Oc=±\/o«' — ««',
qui permettent de supposer les deux couples de points a, a' et b, U imaginaires.
La première donne, en vertu des expressions de Ort cl 0«' (21S),
cl par coiiscqucnl
^Jab.ah' .a'b.a'b'
eO, ou, d'après les expressions de «0 et eO,
«h.ah'^a'b.ab' ,^yiab.aV .a''b.6^b'
Les deux signes rt répondent aux deux points doubles e, J.
Cette expression de ae montre que ces deux points sont réels quand le produit ab.ab' .a'b.a'h' est positif, et l'on reconnaît aisément que cela a 'toujours lieu quand les deux segments oa', hb' sont l'un entièrement sur l'autre ou l'un au delà de l'autre, el qu'au contraire le produit est toujours négatif quand les deux segments empiètent l'un sur l'autre.
L'expression de ce se met sous la forme plus simple
( \jab7^b' ± slTT-'ây j -
yGoosle
l-io THAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉBlEimE. — CHAPITRE IX.
On peut y supposer les deux points h, h' imaginaires, parée que les produits ab.ab', a'b.a'b' ei le pointé, milieu du segment Zii', sont toujours réels.
Nous donnerons plus loin {228, coroll. I) «ne relation qui peut servir à déterminer les deux points doubles dans le cas où les segments aa', bb' sont tous deux imaginaires.
On a semblablement pour 6e l'expression
Nous écrivons rp, parce qu'on doit avoir entre les trois points m, S et e la relation ae + eo -r- Gh ^ o, qui se trouve ainsi satisfaite. Le rapport des deux segments ae, 6e est
a« {,J^bM>' =t ^la'b.a'b'f êï~ [\lb^7b3^'^b'a.b'a'f'
Il peut prendre une forme plus simple. Qu'on cliasse les radicaux dans le numérateur, en multipliant les deux termes par
on obtient
ac [ab. ah' -- a'b.a'b' Y
Se~ [[ab -ha'b')s/ab' .abzp{a'b -^ ah') \Jab .al/ j^
Or, d'une part,
ah.ab'
d'où
ab.ab'— a'b.a'b'-- 2«ê(o0 — n'O) = -i
et, d'autre part,
{^Jab'.a'bz^^^ab.a'b'f
ae «/
L'un des signes convient au rapport -— et l'autre à j^ •
