III. ■ — Construction du sixième point d'une involutlon

219. Soient a, a' et b, h' deux couples de points conjugués et c un cinquième point d'une involution dont on veut trouver le sixième point d . Par un point g- pris arbitrairement, on fera passer deux circonférences de cercle ayant pour cordes respectives les deux, segments acé , bb' ; elles se rencontreront en un second point g' , et la circonférence menée par les trois points g, g' et c coupera la droite abc en un second point c" qui sera le sixième point de Tinvolution (207).

Cette construction subsiste quand l'un des segments aa', bb' on tous deux sont imaginaires, parce que l'on peut mener par un point donné un cercle qui ail pour points d'intersection imaginaires avec une droite deux points inaaginaires déterminés par leurs e'/ements (Q'i), ainsi que nous le verrons dans la théorie des cercles.

autrement. Après qu'on a déterminé le point central O, on peut prendre

Cette formule s'applique d'elle-même au cas où les couples de points a, a' et b, b' sont imaginaires.

Nous donnerons plus loin (Cnap. XUI) une construction générale indépendante du point central et dans laquelle on n'a à déterminer que des centres de moyennes harmoniques relatifs à deux points, ce qui se fait par ime même construction, soit que ces points soient réels on imaginaires (81].

§ V. — Relation entre six points en involution, dans lai^elle entre un point arbitraire.

220. Lemmb. — Etant pris sur une droite trois segments fixes quelconques aa', bb', ce', dont les milieux sont a, Ê, y, et un point m, la/onction

a toujours la même valeur, quel que soit ce point.

I ja TRVITÉ DE GEOMETRIE SUPERIEURE, — CHAPITRE IX.

En clTet, soil M un aiitre point; on a

mu -:M« --Mm, ma.'.-U^'- - llm, et

ma.m<,'^yi.<iMf>' ■ - 2M«. M w + Mm' .

Pareillement,

mb.mb'z^ilb.ilb'— 2MS.Mm-i-Mm', mc.mc ^Mc.Uc ~- zUy Mm -i-M^i\

Multipliant ces trois équations respectivement par ëy, yx et sS, puis les ajoutant memlire à membre et observant que l'on a les deux identités

la première entre les trois points x, S, y et la seconde entre les cjnalrc a, S, y et M, on obtient l'équation

ma, ma' .Sy + mb . mb' ,y« -h inc .me' .hË

= M«.Mfl'.ê7-;-M&.M6'.7«-i-Mc.M(.''.ae,

ce qui démontre le lemme énoncé ( ' ).

221. Quand six points a, a'; b, b'; c, c', conjugués deux à deux, sont en involution, si l'on prend un point m quelconque sur la même droite, on aura toujours, en appelant a, S, y les milieux des trois segments aa', bb', ce', l'équation

dans laquelle on observe la règle générale des signes.

(') En supposant que les trois pointa n', b' , c' cojiicidenî respectivemei points a, b, c, on en conclue la relatioti suivante entre quatre points ii, j

Mais on verra que cetto relation n'est qu'un cas parlicnlier, de uiënie que l'identi. iita.bc + nib.ca -h me. ah = o, dont nous avons fait souvent usage, de théorèmes n latifs à un nombre quelconque de points (Chap. XVI).