INVOLUTION DE SIX POINTS

En effet, d'après le lemme, la fonction qui forme le premier membre de cette équation a une valeur constante, quelle que soit la position du point m. Or celte valeur est nulle quand ce point coïncide avec le point central, parce que, les trois produits m«.mfl', iiib.inb', inc.tnc' étant alors égaux, la fonction devient

quantité nulle à cause de l'identité ao -t- S-/ -j- ya = o.

Le théorème est donc démontré.

Autrement. Soient e,/les points doubles de Tinvolution. Ces deux points divisant harmoniquement chacun des trois segments aa', bh' et cd (2H ), on a les relations

ma ma'^.me.mf^im,,..mO, mh.mb'^mc.mS.:.lmS.mO, mc.mc'+me.,n/---.9.my.mO (70).

Multipliant ces équations respectivement par Sy, ■/</-, a§ et les ajoutant membre à membre, en observant que l'on a, comme cidessus, les deux équations

CouoLLAinE. — Si les deux points b, b' coïncident avec le point double e et les deux points c, c' avec le second point double ï, l' équation devient

C'est la relation entre deux couples de points a, d et e, fe^'a rapport harmonique, qui a déjà été démontrée différemment (71).

222. t.QOATioN RF.LATtVE AU POINT CERTRAL. — Si dans la relation générale (i) on suppose que le point c' soit à l'iniinî, auquel

l44 TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — CHAPITRE IX.

cas le point c sera le point central O, l'équation devient ( 3 ] ma . ma' — mb . mh' -1- 2 aê . ra 0 ^ O,

En effet, divisant l'équation générale par Sy, on a

el, le point o' étant à l'infini, y est aussi à l'infini, et l'on a

Par conséquent, l'équation générale devient

ma . ma' — mb.mb'+ 2«ê.m0 r-- o.

On a donc ce théorème :

niant pris sur une droite deux segrne/its aa', bb', ainsi e/iie leur point central O déterminé par l'ét/uation

<ia.0a'=0b.0b',

et leurs points milieux a, 6, on a, pour un point quelconque m de la droite, la relation

ma. ma'- mb .mb' -~ zaë.mO = o.

Autrement. Soient tî, y les deux points doubles; leur milieu est le point centra! O, de sorte qu'on a les deux équations

me.mf+ma.ma'=^m<..mO.

me.m/+inb.mb' = 2mS.mO (70),

qui, retranchées l'une de l'autre membre à membre, donnent

ma . ma' — mb . mb' =iSa:.mO.

INVOLOTION DE SIX POIMS. l45

CoROLLAiiiE. — Si le point m coïncide avec te point a, il -vient

comme on i'a déjà trouvé directement (215).

223, CoBSTuucTiOH DU poiKT cEHTiiAL. — - La fomiule (3) peut servir pour construire le point central d'une involution déterminée par deux segments aa', hV ; et la construction s'applique au cas où les deux segments sont imaginaires, comme il pourrait arriver s'ils provenaient des intersections d'une droite par deux cercles ou deux sections coniques, car les produits ma.md et mh .mV restent réels, ainsi que les points milieux «, £ des deux segments.

Quand les points a, a' ou b, V sont réels, on peut placer le point m en l'un de ces points et se servir de la formule (4).

§ VI. — Manières d'exprimer l'involution par les éléments ou les équations des trois couples de points.