L'cquation (i) s'écrit

Supposons que les trois couples a, a'; b, b' et c. c' (réels ou imaginaires) soient représentés respectivement par les trois équa-

.,;!+ A'.^ ( B' =o, x'-~^&."x-\--B"-- -o (91), lie sorte que l'on ait

la condition d'involution s'exprimera par la relation suivante entre les six coefficients A, B, ... :

225. On peut substituer à cette relation unique trois équations

CUASLKB, - Géom. sup. 10

l4fi TRAITÉ DE GEOMETRIE SUPERIEURE. — CHAPITRE I

renfermant deux coefficients indéterminés, savoir

car ces équations expriment (97) que les deux points de chaque couple sont conjugués harmoniques par rapport à deux points fixes déterminés par l'équation

lesquels seront les points doubles de l'involution.

Et, du reste, en éliminant u et ). dans les trois équations, on U'ouve l'équation (a).

226. Si les équations des deux premiers couples de points coii-

x^-h A.r -hB r-o, .c^+ A'.r + B'r=o,

celle du troisième couple sera de la forme

(.c^-!- Aa^ + B) + I[,r2-|-A'.c-F-B') =o,

c'est-à-dire que les coefficients de l'équation du troisième couple seront

,„ A -h k'i „„ B + lî').

En effet, en éliminant )., on retrouve l'équation (a).

autrement. On peut démontrer directement que les trois équations représentent trois couples de points en involution. Appelons a, «', h, h' et c, (/ les distances de ces points à l'origine commune ; on a

x' -1- A'^ + B' = (.t - 4) (j^- S'), et ré(juation du troisième couple devient

INVOI.UTION DE SIX POINTS.

Or, c et c' étant les racines de cette équation, f

OU, en représentant maintenant par les mêmes lettres a, a', ... les points dont ces lettres expriment les distances à l'origine commune,

cb.cb''~ c'b.c'O'

Cette équation prouve que les tro învolution. Donc, etc.

uples de points sont en

- Relations où entrent les points milieux des trois

227. // existe entre trois couples de points en inwolution a, b, b' et c, c' et leurs trois points milieux a, 6, y les relations

Pour démontrer ces équations, la première par exemple, supposons dans l'équation (i) (221) que le point m coïncide avec le poi

; le premier terme devient nul et l'équation se rédtiit à

, parce que j's =r — ay,

ah. al/

Ces équations, remarquables par leur simplicité, donnent immédiatement les sept équations fondamentales (a) et (Ô) (190). En

; scpÉHiEiJHE. — cii\riTHR ix.

effet, les deus premières, par exemple, qui ont le même second membre, donnent la première des équations (a); et, quant aux équations (h), qu'on fasse le produit des trois équations de la première colonne multipliées membre à membre, on a

ab'.èc'.ca' ac" . cU , ba' '

ce qui est l'onc des équations (Z>).

228. On a entre trois segments en involution aa', leurs points milieux a, 6, y la relation

o.a ,S"/ + ei'.-/a -+- yc ".«& + a?j.t-j .•fj.-—a. En effet, prenons l'cquation (i) (221), et observons qui

elle devient

ou, d'après la Note relative à ia proposition (220),

"^r.S-/ -^Jh'.'ia. -|-7ê'■'•5^-■'■e.S7.v« = o.

Ce qu'il fallait démontrer.

Couoi-LAiRE I. — Si les deux points c, c' coïncident en l'un dei points doubles e, l'équation dei-ie/it

Cette relation peut servir pour déterminer les points doubles d'une involution et s'applique au cas où les deux segments aa', bb' sont

IMVOLUTIOS CE SIX POINTS. Ifjg

imaginaires. Dans ce dernier cas, les deux poinls doubles sont toujoiirs réels (216),

Cor.Oli.a,ireII. — Si a, ê, y représente jit les centres des moyennes harmoniques d unmême point n par rapport aux trois segments aa', \ih' et ce', on aura l'é/juation

aa Sy Sii yv. -/c a@ aê.Sy.ya

En effel, en raulLlplianl par —'■■■-- -■) on peut écrire i'équation de

manière qu'elle ne renferme que des rapports anharmoniques, car

ic premier terme, par exemple, s'écrit ■ — ■ ( — '■ —A [■ — : — ■ ) ■

li en résulte que l'équation sera vraie pour toute position du point n si elle l'est pour une seule. Or l'équation est \rale quand le point n est à l'infini, car elle se réduit à la précédente, dans laquelle a, S, y sont les milieux des trois segments aa' , hV et cd . Donc l'équation a lieu pour toute position du point n.

g VIII. — Relations diverses.

points 1

229. Dans chacune des équations où entrent les lieux a, f, y des trois segments ad, bV , ce', on peut remplacer ces points par ceux de l'involution a, a' , . . ■ , au moyen des espressions

^^^ab-^V-a'b ^.^l"[+l''c .^^-t£!r f5-

Les formules (227) deviennent

ah. ah" tib'+a'li

Nous aurons à faire usage de ces relations.

230. L'involulion de six points étant l'égalité de deux rapports anharmoniques , on peut l'exprimer par des équations à trois ternies (SI). On trouve que ces équations sont de deux formes différentes représenlées par les deux équations suivantes, qui expriment l'égalité des rapports anharmoniques des deux séries de quatre points a, h, c, d et iï', V , c' , a :

On formera toutes les autres équations semblables, soit en remplaçant chaque lettre par sa conjuguée, soit en remplaçant deux lettres conjuguées par deux antres lettres conjuguées, et -fice-we/ «t.

231. La formule à trois termes où entre un point arbitraire par laquelle on exprime l'égalité des rapports anharmoniques de deux séries de quatre points (S2) donne aussi des relations entre six points en involution. Prenons l'équation

-r,hd.m

^-rj-,da.m

et supposons que les points d, d' coïncident avec les dei respectivement; l'équation devient

^,bc-

--rr-.o'a.miy-ab.m

Elle exprime que les trois couples de points a, a'\ h. h' et c, c sont en involution.

En faisant coïncider les points </, d avec b' cl h respec on a cette équation différente :

-;ab.r,ib=--a.

yGoosle