IKVOLUTION DE SIX POINTS

ab.ab' «S n§|

233, Si dans les équations précédenles on suppose le point m à l'infini, elles deviennent

Ce sont de nouvelles équations avec un seul point arbitraire.

236, Si dans l'équation générale (SS'i) on suppose le point c à l'infini, le point c devient le point eentral O, et on a l'équation

«, S sont les conjugués harmoniques du point « par rapport aux deux segments a<é , hV , et le point y est situé de manière que le point O se trouve le milieu du segment n-j.

CoROLOiRE. — Faisant coïncider le point m avec a, et observant que ny =: anO, on a

n// .néi' ?(&' ay

237. Il est à remarquer que toutes ces équations à un ou à deux points arbitraires s'appliquent d'elles-mêmes aux cas où les points en învolution sont imaginaires, parce que les deux points de chaque couple sont représentés dans les unes et peuvent être remplacés dans les autres par des éléments réels (100).

g X. — Étant donnés deux segments 'i(i\ l/b' et le milieu 7 d'un troisième, déterminer celui-ci.

238. Par un point g pris arbitrairement, on fera passer deux cercles qui aient pour cordes respectives les deux segments ac^, hb'\ ils se rencontreronl en un second point ^. Par les deux points g, ^ on mènera un cercle qui ait son centre sur la perpendiculaire à la droite ab élevée par le point y ; ce cercle déterminera, par ses intersections avec la droite ah, les deux points cherchés c, é (207). S'il ne rencontre pas cette droite, ces points seront imaginaires.

Quand les deux segments an', hV empiètent l'un sur l'autre, la construction se simplifie, car il suffit de décrire deux circonférences sur ces segments comme diamètres cl de mener par leurs points de rencontre un cercle qui ait pour centre le point y ; ce cercle détermine sur la droite ah les deux points clicrchcs o, c', lesquels, dans ce cas, sont toujours réels.

239. ExpiiËSSiOHS DU SEGMEBT yc. — i" Soit O le point centrai de l'involution ; le segment yc se déterminera par l'équation

qui dérive de Oa.O«'= Oc.Oc'.

Quand les deux segments ad , bb' empiètent l'un sur l'autre, le produit Qa.Od est négatif et le segment yc se trouve toujours réel.

Mais, quand les deux segments ad, hV n'empiètent pas l'un sur l'autre, le produit Oa.Od est positif, et alors yc est réel ou imaginaire, selon que l'on a

Ov > ou <0<7.0<ï'.

Or, e et/étant les points doubles de l'involution, on a

On peut donc dire que le segment yc est réel ou imaginaire, selon que Oy est ]> ou <^0e, c'est-à-dire selon que le point milieu y

INVOLIITION DE SIX POINTS. l55

est situé au deià du segment ^ou sur ce segment, entre les dciix points doubles e,f. En effet, les deux points cherchés c, d devant être conjugués harmoniques par rapport aux deux points doubles e, f, leur point milieu y doit être extérieur au segment ef (61).

Cette construction s'applique d'elle-même au cas où les deux segments ad et hV sont imaginaires.

2" Soit / le point qui forme une involulion avec -/ et les deux couples a, a' cV b b' \ on aura

En effet, on a Oy.Oy' = On. Ofi'; donc l'expression précédente Aeyc devient

yc' -^Ôy" — Oï.O/ = 07(07 — 07-') i^v/.'/O.

3" L'équation (i), (221) fait connaître le rectangle me. me' qui, avec le point y, suffit pour déterminer les deux points c, </. On simplifie la solution en prenant pour le point m le point y luimême ; l'équation devient

yc .c:S='/a.ya'.Sy^ yh.yb' .ya.

4" On peut se sei-vir de l'équation

ZJi'.Sy -i-Sb'.ya-i- 76-' . «6 + kS. §7 .7« = o (228),

dans laquelle tous les segments sont connus, excepté yc , que l'équation fait connaître.

Celte équation s'applique d'elle-même, ainsi que les précédentes, au cas où les deux couples de points a, d et b, h' sont imaginaires.

2iO. Si l'on suppose le point b' à l'infini, la question devient celle-ei :

Etant donnés deux points conjugués a, a' d'une involution, le point central O et le milieu y de deux aulres points conjugués, on demande de déterminer ces points.

On décrira un cercle quelconque passant par les deux points a,

1 5G TK41TÉ DE GÉOMÉTBIE SUPÊRIEUBE. ~ CHAPITRE IK.

d , et l'on mènera par le point O une droite quelconque rencontrant ce cercle en deux points g, g'\ puis on fera passer par ces deus. points un cercle qui ait son centre sur la perpendiculaire à la droite an' menée par le point y. Ce cercle déterminera sur aa' les deux points cherchés c, d (206), lesquels peuvent être imaginaires.

Quand le point O est situé entre les deux a, a!, la construction se simplifie. On décrira une circonférence de cercle sur le segment aci comme diamètre; on élèvera par le point O la perpendiculaire à la droite Oa, et par les points de rencontre de cette perpendiculaire et de la circonférence on fera passer un cercle ayant son centre en y; il déterminera sur la droite aa' les deux points cherchés.

241. Observation. — Nous verrons que la plupart des relations concernant six points en involution, démontrées dans ce Chapitre, se peuvent appliquer à un système de trois couples de points non en ligne droite, savoir, aux quatre sommets et aux deux points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère; ce qui donnera lieu à de nombreuses propriétés du quadrilatère. Mais la théorie de l'involution aura beaucoup d'autres usages qui justifieront l'extension que nous avons cru devoir lui donner ici.

DIVISIONS HOLOGRAPHIQUES EX IWOLUTION.