CHAPITRE X

Divisions HOmOGBAPHlQUES ES INVOLUTIOK.

242. Étant donnés deux couples de points n, a! et b,l/ sur une droite, on peut déterminer une infinité de couples c, (/; d, d',..., formant, chacun, une involution avec les deux couples a, a' et b, V. Alors :

i" Les deux séries a, 11, c, d, e, ... el a', L', c', d', e', . . .forment deux dinsioiis homographiques.

a" Ces deux divisions homographiques ont cela de particulier que, si l'on regarde un point quelconque e' de la seconde comme appartenant à la première, son homologue dans la seconde sera le point e.

En effet, soit O !e point centi'al de l'involution déterminée par les deux couples «, «'; h, b', et soit e, e* un autre couple. On a

Cette relation détermine le point e* quand e est donné ; et, si le point y est regardé comme appartenant à la première division, son liomologue dans la deuxième coïncide avec le point e.

Ces de\ix divisions sont celles que nous avons considérées comme cas particulier des divisions homographiqucs (180). Nous avons dit alors que nous les appellerions divisions en involution; on en voit ici la raison.

243. Pour que deux divisions homographiques formées sur une même droite soient en involution, il suffit qu'un seul point quelconque de cette droite, considéré comme appartenant successivement aux deux divisions, ait le même point homologue dans les deux cas.

C'est-à-dire que, quand cela aura lieu pour un point, tous les autres points jouiront de la même propriété.

Celte propriété importante a été démontrée dans !a théorie générale des divisions honio graphique s (180); en voici une seconde démonstration, fondée sur la seule notion de l'involution.

Soient a, h, c trois points de la première division et a', h', </ leurs coiTespondants dans la seconde division ; nous supposons que le point c, étant considéré comme appartenant à la seconde division, ait pour homologue dans la première le point (/: il s'agit de prouver qu'il en sera de même du. point a, c'est-à-dire que, si on le considère comme appartenant à la seconde division, son homologue dans la première sera le point a!.

Or, les quatre points «, b, c, c' de la première division ayant par hypothèse, pour correspondants, dans la seconde division, les quatre a', V , c et c, les rapports enharmoniques de ces deux séries de quatre points sont égaux, et, par conséquent, les trois couples de points conjugués a,a'\ h, h' et c, c' sont en involulion (188). Donc les deux séries de quatre points a, ci , b, c et d, a, b', </ ont leurs rapports anharmoniques égaux (189). Donc le points, quand on le considère comme appartenant à la seconde division, a pour homologue dans la première le point a'. Ce qu'il fallait démontrer.

244. Deux droites divisées Itomograpliitjuement peuvent toujours être placées l'une sur l'autre, de manière i/ue les deux divisions soient en involution.

En effet, soient a, tJ deux points homologues des deux divisions ; nous avons vu qu'on pourra déterminer deux autres points homologues b, i' tels, que les segments ah, a'b' soient égaux (133), Qu'on place la seconde droite sur la première en faisant coïncider le point b' avec a, et u' avec b. Alors le point a, considéré comme appartenant à la première division, aura pour homologue dans la seconde le point «', et, considéré comme appartenant à la seconde division, aura pour homologue dans la première le même point </; et, par conséquent, il en sera de même pour tout autre point (243), c'est-à-dire que les deux divisions seront en involution.