Il résulte de là que deux divisions homogt
DIVISIONS HOMOGHAPBIQFES EX INVOLUTIOK. iSg
vohaion ont tonte la généralité de deux divisions Komographiques quelconques, et que les relations qui ont lieu entre trois systèmes de deux points conjugués sont dues seulement à la manière particulière dont les deux droites sur lesquelles on peut concevoir les deux divisions formées se trouvent placées l'une sur l'autre.
2-46. Mâbiîîrës d'expuimer deux divisioks en iwvolutiok, — Chacune des relations entre six points en involution a, a'; b, V et c, c' exprimera deux divisions homographiques en involution, si l'on y regarde les quatre points o, d et h, V comme fixes, et les deux c, c' comme variables et appartenant respectivement aux deux divisions.
Par exemple, l'équation
{.t^-î- Aj^-r B) + \{x'-^ A',r-;-I{')"0,
dans laquelle A, B, A', B' sont des coefficients constants et \ une variable, représente des couples de points en involution (226).
Nous verrons plus loin quelle relation intime existe entre ces couples de points et les valeurs de la variable A auxquelles ils correspondent.
247. On peut aussi se servir des différentes formules par lesquelles nous avons exprimé deux divisions homographiques quelconques, en ydonnant aux coefficients constants des valeurs telles, que les deux divisions soient en involution. A cet effet, il suffira d'exprimer, par une relation de condition entre les coefficients de l'équation générale, qu'un même point, qu'on pourra prendre arbitrairement, a le même conjugué, étant considéré comme appartenant à l'une ou à l'autre division. Par exemple, si c'est le point situé à l'infini que l'on prend, on exprimera que les deux, points que nous avons appelés I et J' sont coïncidents.
Appliquons ces considérations à l'équation générale
Le point 1 delà première division, qui correspond à l'infini de la seconde, est déterminé par al ^ — \j,, et le point J' de la seconde division, correspondant à l'infini de la première, parA',T'=^- — ?.. La condition pour que ces deux points coïncident s'exprime par
l6a TRAITE DE GEOMETRIE SBPERIEVRE. —
l'équation
On aura donc
al = ay ou al - /.'J' iiab'.
l— a = ab\
Telle est la condition pour que les deux divisions soient en invo-
248. Si, dans l'équation qui exprime les divisions homographiques, les deux points variables m, m' sont rapportés à la même ou aux mêmes origines, il faut et il suffit, pour que les deux divisions soient en involulion, que l'équation soit symétrique par rapport à ces deux points, parce qu'alors on pourra les changer l'un dans l'autre, ce qui est la propriété caractéristique de l'invo-
C'est ainsi qu'on voit immédiatement que chacune des équations
;xprimc deux divisions liomographiqucs en L'équation
quoiqu'elle ne soit pas explicitement symétrique par rapport aux deux points m, m', exprime encore que ces points forment deux divisions en involution, car elle exprime que ces points sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points e,f, lesquels sont les points doubles de l'involulion.
249. Cas particolier ou l'un des points oodbles est a l'infini.-— Nous avons vu (131) que, quand deux divisions liomographiqucs ont un point double à l'infini, elles s'expriment par l'équalion
am+l.b'm' =-j.
yGoosle
DIVISIONS HOMOGRAPHIQDES EN INVOLUTION. l6l
On peut écrire
et, sous cette forme, on voit que les deux divisions seront en involution si 1 est égal à i ; car on pourra changer m en m' et réciproquement, et l'équation ne changera pas.
Ainsi l'équation
exprime deux divisions en involution qui ont un point double situé à l'infini.
L'autre point doubley"est le milieu de chaque segment compris entre deux points conjugués, puisque les deux points doubles divisent harmoniquement ces segments.
SUPERIEURE. — CIIAPITBE XI.
