CHAPITRE XI

§ I. — Faisceau de six droites en involntion.

250. Détinition. — Nous dirons que six droites issues d'un même point et conjuguées deux à deux sont en involution, ou forment un faisceau en involution, quand quatre droites, prises dans les trois couples, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quaLrc droites conjuguées.

Il est évident que ce faisceau de six droites jouit de la propriété de rencontrer toute transversale en six points en involution; et que toutes les relations concernant ces points et dans lesquelles n'entrent que des rapports anharmoniques s'appliquent d'ellesmêmes aux six droites.

De celte remarque, aussi bien que de la définition même du faisceau en involution, on conclut immédiatement, d'après les expressions de l'involution de six points (190), que les six droites ont entre les sinus de leurs angles les relations à huit et à six facteurs telles que

sînfA.B) sirt(A. B'I si'nfA', Bl sinfA'. BM

sin(A,C) siQ(A,C') ~ sin(A', C) sin(A', C'")'

sin(A, B] sin[B', C) 5in(C', A') = — sin(A', B') sin(B, Ci sin[C, A);

et que cbacune de ces équations, qui sont au nombre de sept, comporte les autres et suffit pour définir l'involution des six droites.

251. Aux àe\xs. points doubles considérés dans l'involution d'un système de points correspondent ici deux rayons doubles, lesquels peuvent être imaginaires. Ces deux rayons jouissent de la propriété de former un faisceau harmonique avec deux rayons conjugués quelconques.

FAISCEAUX EN mVOLUTlON. i63

Mais il n'existe pas de rayon correspondant au point central de l'involulion de six points, et l'on en conçoit bien la raison, car ce qui distingue le point central, c'est que son conjugué est situé à l'infini et disparaît de l'équation; et à ces deux points correspondent, dans un faisceau, deux rayons conjugués qui n'ont rien de distinclif et dont aucun ne peut disparaître de l'équation.

Toutefois il existe toujours deux droites rectangulaires telles, que, en désignant l'une d'elles par O, l'on a

tang(0.A)taog(0,A') = tang(O,B)tang(0,B') = iang(0,C) tang[0,C') ,

équations analogues à celles du point central. Ces équations seront démontrées plus loin (259, 3°).

2S2. L'équation dans laquelle entre un point arbitraire m (221 ) ne se compose pas de rapports anharmoniques, de sorte qu'elle n'a pas lieu entre les sinus des angles d'un faisceau en involution. Mais l'équation qui contient deux points arbitraires m et n (234) s'applique aux sinus des angles de six droites en involution.

Ainsi l'on aura l'équation

sinfM.AlsinfM.A'l . ,„ , . ,„ , smfM.BlsinfM.Hn .,„„,,, ,

i(N,A)sin(N,A') *■ ' ' ^ "' sin[S,B)sm[N, B') sinCM.Cisinm.C)

L(N,Clsin[N,C'

-sm(N,7] sin(a,g) = o.

Les deux rayons M, N sont pris arbitrairement; a est le rayon conjugué harmonique du rayon N par rapport aux deux A et A'; et ainsi des deux autres S, y.

Si l'on prend les deux rayons M, N rectangulaires, il viendra

sinfe.vlsinfN.o.) sin(-x.ol sinf N.êl

■ tang(W,Ajtang(N,A') îang(N,B) tang[N,B') sm(«.Ë)sin(N.y) ''"tanglK,C)lang{lN,C')"" ou bien

tang(M,A) tang[M, A') sin(e, y) cos(M, «) M-tang(M, B)taug{M,B')sin(y,a}cos(M,ê) + tans(M,C)tang(M,C')sin(«,g)cos(M,7)— c

yGoosle

l6.i TRAITÉ DE GEOMETRIE SUPEBIEIIRE. -

253. Dans un faisceau de six droites en involution, <]uand deux droites sont perpendiculaires à leurs conjuguées respectivement, les deux autres droites conjuguées sont aussi à angle droit.

En effet, une transversale coupera les sik droites en des points a, (^ , b, V , c, d en involution, et les circonférences décrites sur les deux segments «(/, hh' comme diamètres passeront par le sommet du faisceau, puisque les deux rayons OA, OA' sont supposés rectangulaires, ainsi que les deux OB, OB'. Donc la circonférence décrite sur le troisième segment cd passe aiTssi parle point O (208), et, par suite, les deux rayons OC, OC sont rectangulaires.

Autrement. On démontre la proposition directement au moyen des équations d'involution, lesquelles se vérifient immédiatement pour trois systèmes de deuK droites rectangulaires.

Ainsi l'on peut dire que : Quand trois angles droits ont le même sommet, leurs six côtés forment un faisceau en involution.

354. Dans un faisceau en involution : Si les angles tfue deux rajons font avec leurs conjugués respectivement ont la même bissectrice, cette droite est aussi la bissectrice de l'angle formé par les deux autres rajons conjugués.

Les deux angles AOA', BOB' ont la même bissectrice; il faut prouver que l'angle COC admet aussi pour bissectrice cette droite. En effet, cette droite et sa perpendiculaire divisent harmoniquement à la fois les deux angles AOA', BOB' (84) ; par conséquent, elles sont les rayons doubles de l'involution (251), et, par suite, elles divisent harmoniquemenl le troisième angle CGC; et, puisqu'elles sont rectangulaires, elles sont les bissectrices de cet angle et de son supplément. Donc, etc.

§ 11, — Faisceaux h omo graphiques en involution.

255. Si d'un point on mène des droites aux points de deux divisions homograpliiques en involution, elles formeront deux faisceaux homographiques que nous appeWerons faisceaux en insolation. Leur propriété est évidemment qu'une droite, considérée successivement comme rayon des deux faisceaiTx, a, dans les deux cas, le même rayon conjugué.

fl iNvoLurroN. iG5

Par exemple, si des droites forment un premier faisceau et qu'on leur mène par leur point de concours des perpendiculaires, cellesci formeront un second faisceau en involution avec le premier, car une droite, considérée comme appartenant au premier faisceau, aura pour conjuguée dans le second la droite perpendiculaire, et, considérée comme appartenant au second faisceau, elle aura encore pour conjuguée dans le premier la même droite perpendiculaire; ce qui est la propriété caractéristique des faisceaux en involution.

2S6. Dans deux faisceaux en involution, il existe toujours un système de deux rajons conjugués rectangulaires, et il n'en existe ^u'un.

En efCet, qu'on mène une transversale qui rencontrera les rajons des deux faisceaux en des points conjugués deux à deux, a, a ; h,h'\ c, c' , ■ . . , Les circonférences décrites sur les segments aa' , bh' , . . . comme diamètres passeront toutes par deux mêmes points, réels ou imaginaires (208) ; or, parle centre du faisceau, on pourra toujours mener une circonférence passant par ces deux points, laquelle déterminera sur la transversale deux points conjugués; et les rayons menés à ces deux points seront, dans les deux faisceaux en involution, deux rayons conjugués. Mais ils sont à angle droit : le théorème est donc démontré.

257- Il résulte de là que : Si dans deux faisceaux en involution deux rayons de l'un sont perpendiculaires respectivement à leurs conjugués, il en est de Tnéme de tous les autres rayons.

Il est évident que, dans ce cas particulier de deux faisceaux en involution, les rayons doubles sont imaginaires.

258. Dans deux faisceaux homo graphiques en involution, il existe toujours deux rayons homologues également inclinés sur un rayon donné, et il n'en existe que deux.

En effet, une droite transversale, perpendiculaire au rayon donné, rencontre les rayons homologues des deux faisceaux en des points a, a'\ h,b', . . . , qui forment deux divisions en involution, el le rayon donné en un point y. Or il existe un système de deux

l66 TRMTÉ

points conjugués c, </, et un seul, dont ce point y est le milieu, eL il est clair que les rayons des deux faisceaux aboutissant à ces deux points c, </ satisfont à la condition d'être également inclinés sur le rayon donné. Donc, ete.

Hemai'ifue. — Nous venons de dire qu'un point y n'est le milieu que d'un seul segment c(/ formé par deux points conjugués ; toutefois, dans un cas particulier de l'involution, ce point peut être le milieu de tous les segments (201). Alors la droite proposée sera la bissectrice de tous les angles formés par deux rayons conjugués. C'est un cas particulier des faisceaux en involution.

§ ni. — Manières d'exprimer que deux faisceaux lio m o graphique s sont eu involution.

259. Le caractère des faisceaux bomo graphique s en involution, c'est que chaque rayon, considéré comme appartenant à l'un ou à l'autre des deux faisceaux, a toujours le même conjugué (2S5). Pour que deux faisceaux soient en involution, il suffit que cette condition ail lieu pour un rayon donné quelconque, car alors elle aura lieu pour tous les autres. Cela résulte évidemment de la proposition analogue relative aux divisions h omo graphiques en involution (243); et d'ailleurs la démonstration de cette proposition s'applique d'elle-même au cas actuel.

Si les deux rayons variables entrent d'une manière symétrique dans l'équation qui détermine l'homographie des deux faisceaux, la condition d'involution est évidemment satisfaite, de même que dans les divisions homographiques (2'48). D'après cela, on reconnaît que chacune des équations suivantes exprime que les deux rayons variables M, M' forment deux faisceaux en involution :

sin[E,M) sia(E.Br ) , '° siii(F,M)~ 9iQ(F,M')''

E et F sont les deux rayons doubles de l'involution.

n(A, M)5in(A,

sin(A',M)sm(A',M'j A et A' sont deux rayons conjugués quelconques. 3° tang(0,M) lang(0,M'j = 1;

0 est l'un des deux rayons conjugués rectangulaires qui existent toujours dans deux faisceaux en învolution (256).

Celle équation provient de la précédente, dans laquelle on suppose que A et A' sont ces deux rayons conjugués rectangulaires.

On conclut de là cette propriété importante d'un faisceau de six droites en învolution, savoir que. A, A'; B, B' el C, G' étant ces sis droites conjuguées deux à deux, il existe deux rayons O dont chacun donne lieu aux équations

tang(0,A)tang(0,A') = taiig(0,B)tang[0,B') = tang(0, C)tang(0,C'),

comme nous l'avons annoncé précédemment (251 ). 4" Enfin on a l'équation

tang(A,M) tang(A,M') + l[tang[A,M) -H tang[A, M')] -+- -j = o,

dans laquelle A est une droite quelconque,

260. D'après la condition d'involution de deux faisceaux homographiques (239), on conclut, en vertu du théorème (1S3), que ; Deux faisceaux homo graphiques quelconques peuvent toujours être placés de manière à former deux faisceaux en involution, propriété analogue à celle de deux divisions homographiques (244).

Et il résulte de là, d'après la proposition (256), que : Quand deux faisceaux sont homographitjues, il existe toujours dans l'un deux rayons rectangulaires dont les homologues, dans

1 autre, sont aussi rectangulaires, et il n'existe qu'un tel système

E BÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE.