CHAPITRE XIII

PllOPOSinOHS RELATIVES A DEUX DIVISIONS HOMO GRAPHIQUES FORMÉES SUR UNE MÊME DROITE, ET A l'iWVOLUTION-

§ I. — Divisions homographiques sur une même droite. Construction des deux points douilles et de leur point milieU'

267. Soient a, b, c, ... et a', b', c', . . . les points respectivement homologues de deux divisions hom.ographiijues formées sur une même droite; les deux points doubles seront en involution avec chaque système de deux couples de points tels que a, b' et a', b.

En effet, soient e,fles deux points doubles des deux divisions; les quatre points a, b, e,fde la première division ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points correspondants af, ô', e,y de la seconde division. On peut changer l'ordre de ceux-ci et dire que les quatre points a, h, e,y ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points è', a!, /", e, ce qui prouve que les trois segments al/, db, e/"sont en involution (188). Donc, etc.

Autrement, Les points doubles des deux divisions se déterminent par l'équation

^ - laQ.ae -t- aY.aa- =^ o (158).

Par conséquent, on a

ae.af^-al.aa:.

On a pareillement, à l'égard d'une origine b' , prise dans la

DIVISIONS HOHOGBAPHIQUES. 173

seconde division,

Donc

ae.al^ al.aa' b'e.b'f b'V .b'b'

Mais les quatre points a, b, I, so ont leur rapport anharmonique

égal à celui des quatre a', h', 00', J'; ce qui donne la proportion

-m, ^ --r-, ■ 11 vient donc b'J' b'a'

b'e.b'f Vb.b'a:'

et celle équation prouve que les trois couples a, b'; a' , b et e,f sont en involution.

Autrement. Que l'on suppose dans l'équation (4), n" 145, que le point a coïncide avec b', et le point d' avec c; de sorte que b et c de la première division restent arbitraires ; l'équation

et les points doubles se déterminent par l'équation du second degré Ve h'b.b'c'

^^T~ ~cb:^'

équation qui prouve que les trois couples b' , c\ b, cf tl e,y*sont en involution. Donc, etc.