On conclut du théorème précédent ces dcux-ci
1" Les cercles décrits sur les trois segments ab', ba', ef comme diamètres passent par deux mêmes points (208).
2" Les trois cercles menés par un même point et ayant pour cordes respectives les trois segments ab', ba', ef passent par un second point commun (207).
174 TR«TÉ DE GÉOMÉTRIE supeuieube. —
II. — Construction du point milieu des deux points doubles de deux divisions homographiques dont on connaît trois couples de points correspond
269. Soient a, d\ b, V et c, c' les trois couples de points correspondants des deux divisions, et e, f leurs points doubles qu'il s'agît de déterminer.
Les quatre points a, b, c, a de la première division ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points a', è', c , e de la seconde division, de sorte que l'on a
Or nous venons de voir que les trois segments ab', a'b et ef sont en involution; il s'ensuit qu'en appelant «,, S, et O leurs milieux,
Cette expression du rapport ^-^ fait connaître la positiondupointO, qui est le point cberclié.
On ramène l'expression — r : -^, à un simple rapport de deux
lignes, au moyen du théorème de Ptolémée sur les segments qu'une transversale fait sur les deux côtés d'un triangle (Chap. XIX, §1).
in. — Construction des deux points doubles quand on connaît leur point milieu.
270. Après avoir déterminé le point milieu O des deux points doubles e, y, on peut déterminer leur distance à ce point par l'équation suivante, d'après le théorème (221 } appliqué aux trois segments en involution ab', dh et ef,
0«.06'.e,0 -t-OS.Ofr'.O:.; — Ô^e'.-^,g, = n.
DIVISIONS IIOMOGRAPIIlQliES.
,. - r ■ On, .
dou, en iaisant-=-^ ;= /,
IV. — Construction des deux points doubles, sans connaàre leur point milieu,
271. Le théorème (267) donne lieu à une construction trèssimple des deux points doubles.
Par un point g pris arbitrairement, on fera passer deux circonférences de cercle qui aient pour cordes, respectivement, les deux segments al/, a'è; ces circonférences se couperont en un point g'. Par le même point g, on fera passer deux autres circonférences ayant pour cordes, respectivement, les deux segments ac*, a'c, lesquelles se couperont en un autre point g".
La circonférence de cercle menée par les trois points g, gf, g" déterminera sur la droite ab les deux points doubles cherchés ; car ces deux points seront en involution, d'une part avec les deux couples a, b' et a', h, et d'autre part avec les deux couples a, c' eta', c(207).
Cette construction se prêle à tous les cas que peuvent présenter les trois couples de points a, a'; b, b' et c, c'. Elle se simplifie si deux de ces points, tels que S et (;', sont àl'infini('),
autrement. On décrira des circonférences sur les quatre segments ab\ ha',, ad et ca', comme diamètres, et, par les points d'intersection des deux premières et les points d'intersection des deux autres, on fera passer une circonférence de cercle, laquelle déterminera sur la droite abc les deux points cherchés (268).
Cette seconde construction se prête, comme la précédente, à tous les cas que peut présenter la question, relativement aux positions des trois couples de points a, a'\ b, b' et c, c*.
272. Supposons que le point b soit à l'infini, ainsi que le point c', et désignons par J' et 1 leurs homologues b' et c dans la seconde et la première division, respectivement; de sorte que les deux
(' ] Si le point b, par exemple, est ii l'iniini, la circonférence qui doit passer par
i;6 TBAITÉ DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — CHAPITRE XIII.
divisions liomographiqucs seront exprimées par l'équation
Im.J'///'=I«.J'û' (126).
La circonférence décrite sur le segment infini dh, comme diamètre, sera la droite menée par d perpendiculairement à la ligne ah ; et de même de la circonférence ayant pour diamètre le segment infini ad. De là résulte celte construction :
Sur d\ comme diamètre [fig- 3i), on décrira une circonférence de cercle, et l'on élèvera par le point a une perpendiculaire qui la rencontrera en un pointa; puis, sur aV comme diamètre, on décrira une seconde circonférence de cercle, et l'on élèvera la perpendiculaire a' a' qui la rencontrera en a! . Par les deux points et, d on fera passer une circonférence qui ait son centre sur la droite ad ; elle marquera sur cette droite les deux points cherchés.
Le centre de cette circonférence, étant le milieu de ces deux points, est connu a priori; c'est le milieu du segment IJ' (1^8) : il suffira donc de construire un seul des deux points a, d pour déterminer la circonférence.
Si l'on prend pour le point a le milieu même du segment U', le rayon de la circonférence sera ad = yjad . aV . Ainsi cette expression, àlaquelle nous sommes parvenu par une autre voie (161 ), résulte ici de la construction générale.
273. Cis OTT l'uh nES poiMTS DOUBLES EST DOMMÉ. — Si l'un des points doubles, e, est donné, les deux couples de points homologues a, d et b, b' siiffiront pour déterminer Je second point double/". Sur les deux segments ah', db, comme diamètres, on décrira deux circonférences; et par leurs points d'intersection et le point e on en fera passer une troisième, qui déterminera le pointy (268).
Autrement. Que l'on prenne deux points fixes quelconques P,
/ P' en ligne droite avec le point double donné e, et qu'on mène
DIVISIONS IIOMOGRAPHIQUES. 177
les deux droites Pu, Fn'qui se coupent en ce, et les deux droites Vb, P'é' qui se coupent en ê ; la droite «S rencontre la droite ab au point double cherché y.
274. Quand deux divisions hoTïiographiques sont formées sur une même droite, chaque point a de cette droite, considéré comme appartenant à la première division, a son homologue a' dans la seconde, et, considéré comme appartenant à la seconde division, a son homologue A dans la première.
Les deux points a! et A forment deux divisions homo graphiques ; et ces deux divisions ont les mêmes points doubles que les deux divisions proposées.
En effet: i" les deux divisions formées parle point a' et le point A sont Ko mo graphique s entre elles, comme étant homographlques à une troisième formée par le point a (106). 2" SI le point n est un point double des deux divisions proposées, les deux points a' et A coïncident l'un et l'autre avec ce point, et par conséquent coïncident entre eux. Donc ce point est un point double des deux divisions formées par les deux points variables a' et A. Ce qu'il fallait prouver.
273. Quand deux divisions homo graphiques sont formées sur une même droite, si l'on prend les homologues a' et A d'un point a de cette droite, comme dans la proposition précédente, le conjugué harmonique du point a par rapport aux deux A et a' sera le même que par rapport aux deux points doubles des divisions hotno graphiques.
En effet, les deux divisions homographiqucs s'expriment par l'équation
am.am' — aV .am^ al.am- -'r al.aa' = 0 (l.'iS) -^ay.aK = o (139).
Pour déterminer les deux points doubles e,f-, il faut faire coïncider Chasles. — Géom. sap. il
TR4ITE DE GEOMETBIE s
ivec m ; l'équation devient, en écrivant e à la place de n
On a donc
ae + a/^-al + ai\ et ae.^(f7= al.aa' r~.aJ' .aA; d'où
Soil a le point conjugué harmonique du point i deux a', A, on aura
Ce qui prouve que le point a est ie conjugué liarmonique du point a par rapport aux deux points doubles e,y. Le théorème est donc
276. CoROi.LA.jiiE I. — Puisque le point a et son conjugué hai'monique a par rapport à ses deux homologues a' et A divisent harmoniquemcnt le segment fixe ef, il s'ensuit que ces deux points a eî a forment deux dii^isions homographiijues en involu- (io/i(248).
277. ConoLLAiRE II. — Etant données deux divisions homographifjues sur une droite, on demande de déterminer le conjugué harmonique d'un point par rapport aux deux points doubles inconnus des deux divisions.
Soit a le point donné ; on déterminera ses deux homologues a' et A, puis son conjugué harmonique a par rapport à ces deux points; « sera le point cherché.
Cette question aura quelques applications, par exemple pour
RELATIVES A LIKVOLUTrOX. 179
trouver la polaire d'un point par rapport à une conique dont cinq points seulement sont connus.
278, Corollaire III. — JYouyelle construction des points doubles de deux dii-isions homographiejues.
On prendra un point a et le point a qui lui correspond comme ci-dessus ; et de même un point b et le point correspondant 6. On cherchera les deux points e, ^qui divisent harmoniqucnient les deux segments aa., éo (261 ) ; ce seront les deux points doubles cherchés.
§ II. — Propositions relatives à l'involution.
279. Etant donnés sur une droite deux couples de segments aa', bb' et AA', BB', on demande de déterminer un segment ce' tjui soit en involution tout à la fois avecles deux premiers segments &a , bb' et avec les deux autres AA', BB'.
Que sur les quatre segments ad, hh' , AA' et BB', comme diamètres, on décrive des circonférences de cercle, la circonférence qui passera par les points d'intersection des deux premières et les points d'intersection des deux autres déterminera le segment cher ché cd (208), Si la circonférence n'est pas constructible, le segment sera imaginaire.
JLutrement. Que par un point g pris arbitrairement on mène deux circonférences, passant, la première par les deux points a et d, et la seconde par les deux è et ô' ; elles se couperont en un point g^.
Que par le même point g on mène pareillement deux, circonférences, passant, ia première par les deux points A et A', et la seconde par les deux E et B', lesquelles se couperont en un autre point g".
La circonférence menée par les trois points g, g', g" déterminera sur la droite ad le segment cherché, réel ou imaginaire,
jiutrement. Soient yXa point milieu du segment cherché et/ ; Ole point central de l'involution déterminée par les deux segments ad ,
bh'\ il )e point central de l'involuLion déterminée par les deux segments AA', BB', et w le point milieu des deus O, £i; on aura !a relation
2w-/.0a = 0«.0a' — ilA.ilA',
qui fait connaître la position du point y. En effet, on a
Oa,Oa'= Oc. Oc' et nA.iiA' = iic.Oc'.
De sorte que l'équation revient à celle-ci,
2fu7.0n = 0c,0c' — o.f.nc';
ce qui est une identité enti-e deux couples de points quelconques c, d et O, Si, et leurs points milieux J' et w, laquelle se démontre aisément; car il suffît d'j remplacer Oc .Oc' par (O/ —-yc) et
fïc.fîc'par (ïïy''— 7c'}.
Le point y, milieu du segment cherché a^ , étant ainsi déterminé, on connaîtra ce segment lui-même par l'une des relations
Ce segment sera toujours réel si les deux ad, hb' empiètent l'un sur l'autre, parce qu'alors le produit O a .0«' est négatif (197) ; et de même, si les deux segments AA', BB' empiètent l'un sur l'autre. Mais il pourra être imaginaire dans le cas où ni les deux segments ad , hV ni les deux AA', BB' n'empiètent l'un sur l'autre.
Observation. — ■ Ce problème aura plusieurs applications, particulièrement aux deux questions suivantes :
Etant donnés deux systèmes de diamètres conjugués d'une seclion conitjue, déterminer les axes principaux de la courbe.
Mtant donnés deux systèmes de diamètres conjugués d'une conique, et deux systèmes de diamètres conjugués d'une autre conique, déterminer le système de diamètres conjugués communs, en direction, aux deux courbes.
EUS. — Chacun des quatre segments «
peut être nul. S'ils sont nuls tous les quatre à la fois, la question devient celle-ci : Trouva- les doux points qui divisent hairjionit/uement deux segments ah, AB.
281 . Étant données deux d/'oites divisées homographiquement, les rayons menés d'un point Jîxe aux points de division forment deux faisceaux homograpJtiques ; et si l'on demande que ces deux faisceaux soient en infolution, leur sommet devra être placé sur la droite qui joint les points des deux divisions dont les homologues coïncident au point de rencontre de ces droites.
En effet, soient S ce point de rencontre, et a et b' sur les deux droites, respectivement, les deux points en question, de sorte que a corresponde, sur la première, au point S de la seconde, et A', sur la seconde, au point S de la première. Le sommet O des deux faisceaux étant pris sur la droite «è', cette droite, considérée comme rayon, soit du premier faisceau, soit du second, aura toujours pour homologue la même droite OS. Ce qui prouve {25o) que les deux faisceaux sont en involution.
282. Jetant donnés deux faisceaux homo graphiques dont les centres ne sont pas coïncidents, on peut les couper par une droite, de manière à avoir sur cette droite deux divisions en involution.
XJne infinité de droites satisfont à la question; elles passent toutes par un certain point déterminé.
Soient O et O' les centres des deux faisceaux et îi le point de renconli-c des rayons qui, dans le premier et le second faisceau, respectivement, sont les homologues des deux qui coïncident suivant la droite 00'. Toute transversale menée par ce point il satisfera à la question ; c'est-à-dire qu'elle rencontrera les deux faisceaux en deux séries de [points qui formeront deux divisions homographiques en involution. En effet, cette transversale rencontre la droite 00' en un point qui, considéré comme appartenant soit à la première série, soît à la seconde, aura toujours pour homologue le même point Û. Donc, etc.
283. Quand trois couples de points a, a'; b, b' et c, c' sont en inwolution, si l'on prend les points a, S conjugués harmoniques du point c par rapport aux deux segments aa', bb' respectivement; puis les points a,, S, conjugués harmoniques des deux a, ê, respectivement, par rapport aux deux segments bb' et aa', le conjugue harmonique du point c par rapport aux deux «i, Si sera le point cf.
En. effet, exprimons que les deux points a, a, sont conjugués harmoniques par rapport aux deux h, V , au moyen de l'cqualion où entrent deux points arbitraires (78), et prenons pour ces points tes deux c' et c, on aura
&) étant le conjugué harmonique du point c par rapport aux deux a., «,. Or cette relation harmonique entre les deux couples c, w et a, «I s'exprime par l'équation
uples 6, c
Retranchant ces deux équations membre à membre, et observant que, puisque c' est le conjugué harmonique du point c par rapport
aux deux a,, S,, on a — ^-^ = -^ tous les ternies, moins deux,
Pareillement,
, la relation harmonique de?
; deux
a, a' s'exprin
le par l'équation
disparaissent, et il reste
ce qui est une des équations d'invoiulion (190), Donc, etc.
Corollaire. —' Si le pointe est à l' infini, son conjugué c' coïn~ cidera avec le milieu du segment «i Ê, , et sera le point central de l' involution déterminée par les deux segments aa', bb'.
284, Dans ee tWorème et son corollaire les deux couples de points a, a' et b, b' peuvent être imaginaires, puisque l'on ne considère, par rapport à eux, que des relations harmoniques. 11 s'ensuit que les deux propositions peuvent servir à eonstruire le point central et le conjugué d'un point donné, dans une învolutlon déterminée par deux couples de points imaginaires. Ces questions auront une application utile dans la théorie des coniques.
285. Etant donnés deux couplas de points a, a' et h, h' sur une même droite, et étant pris le point c conjugué harmonique du point h par rapport aux deux a, a', et le point e' conjugué harmonique de b' par rapport aux deux mêmes a, a', les trois segments aa', bb' et ce' sont en involulion.
En cÊFet, on a, par hypothèse.
et, en multipliant membre à membre.
équation qui exprime que les trois segments aa', hb' et cd sont eninvolution(190). c. q. f. p.
On peut encore dire que ; Quand trois couples de points a, a'; b, b' et c, c' sont en involution, si les deux points het c sont con~
l84 TRAITÉ DE GÉOUÉTRIE SUPÉRIEURE. — CHAFITEE KIII.
jugués harmoniques par rapport aux deux a, a', les deux h' et c' seront aussi conjugués harmoniques par rapport aux deux mêmes a, a'.
286. Quand deux couples de points a, a' et h, h' sont en rapport harmonique, si l'on prend sur la même droite un point arbitraire n et ses conjugués harmoniques c et c' par rapport aux deux segments aa' et bb', respectivement, les trois couples de points a, a'; b, b' et c, c* seront en. involution.
En effet, les deux points «, ce divisent harmoniquement chacun des deux segments bb' et en; par conséquent ces points sont les points doubles de l'involution déterminée par les deux segments (211). Il s'ensuit que les trois segments ««',&« et &'csonteninvolution(213) et que l'on a
Pareillement les trois segments aa', b'n et bc sont en involiition, et l'on a
Divisant ces deux équations membre à membre, on a
ba.ba' bc b' c bc nb
'b^b'a' "~ 'nb' ' 1^ ^~ Vc ^'
Or, c* étant le conjugué harmonique du point n par rapport a deux points b, b', on a
L'équation devient donc
ba.ba' hc.hc'
ce qui prouve que les trois couples a, «'; b, b' et c, c' sont en învolution.
l'involution. i85
CoROLLAïKE I. — Si le point n est le milieu du segment aa', son
conjugué harmonique c sera à l'injini; et par conséquent le
point c' sera le point central de l'involution déterminée par les
deux segments aa', bb'. On conclut de là que :
Quand deux couples de points a, a' et h, h' sont en rapport harmonique,
\° Le point conjugué harmonique du milieu du segment aa par rapport aux deux points h, h' coïncide avec le conjugué harmonique du milieu du segment bb' par rapport aux deux points a, a';
2" Ce point est le point central de l'involution déterminée par les deux couples a, a'; b, b'.
C'est-à-dire que, ce point étant représenté par O, on a
CoBOLLAiEE II. — Si te point n est à l'infini, ses conjugués harmoniques c, c' par rapport aux deux segments aa', bb' sont les milieux tx, ë de ces segments. Donc :
Quand deux couples dépeints a, a' e(b, h' sont en rapport harmonique, leurs milieux respectifs a, S forment un troisième couple en involution avec les deux premiers.
Corollàihb III. — 11 résulte de là que : Les trois demi-circonférences décrites sur les segments aa', bb' et «S comme diamètres passent par un même point (208). Les droites menées de ce point aux deux a, S sont à angle droit; or ces droites sont les rayons des deux premières circonférences ; on en conclut donc que :
Quand deux segments aa', bb' sont en rapport harmonique, les circonjérences décrites sur ces deux segments comme diamètres se coupent à angle droit.
287. Trois droites issues d'un même point font, deux à deux, trois angles : si l'on considère les bissectrices de ces angles et celles de leurs suppléments, les trois droites formeront une involution soit avec les bissectrices des trois suppléments, soit avec les bissectrices de deux angles et la bissectrice du supplément du troisième angle.
l85 TRAITÉ DE GÉOMBTltlE SUPÉRlEUflK. — CllAPITBE XIll.
En effet, soient A, B, C les trois droites, A', B', C les bissectrices des trois angles {B, C), (C, A), (A, B), et A", B", C" les bissectrices des suppléments de ces ang;les. On a
' SI
iq(A'',C) s
n(B-,Cl
conséquent,
.in(A,B')..
n(B,C").Bir
sin|A-,ll|..
n(B.C').an
..(B'.UJ.iin
ii;".A)
équations qui prouvent les deux involutions en question (230),
QUESTIONS DIVEftSKS.
